Question

已知二次函數f（x）=ax²+x．
（1）若對于任意m，n∈R，有f（

m+n

2

）≤

f(m)+f(n)

2

成立，則實數a的取值范圍；
（2）對于任意x∈[0，1]，|f（x）|≤1成立，試求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：二次函數的性質

專題：函數的性質及應用

分析：（1）將x=

m+n

2

，x=m，x=n代入不等式，整理得；a（m-n）²≥0，從而求出a的范圍；
（2）本題可以從a的正、負入手，考慮a＞0與a＜0兩種情況，綜合運用分類討論思想與數形結合思想求解，根據二次函數圖象與性質進行討論即可．

解答： 解：（1）由f（

m+n

2

）≤

f(m)+f(n)

2

，
得：

a(m+n)2

2

+（m+n）≤am²+m+an²+n，
整理得：a（m-n）²≥0，
∴a≥0；
（2）由|f（x）|≤1得-1≤ax²+x≤1，x∈[0，1]，
①當a＞0時，函數f（x）=ax²+x的圖象開口方向向上，對稱軸為x=-

1

2a

＜0，
且經過原點（0，0），只需f（1）=a+1≤1，即a≤0，矛盾!
②當a＜0時，函數f（x）=ax²+x的圖象開口方向向下，對稱軸為x=-

1

2a

＞0，
且經過原點（0，0），f（1）=a+1＜1，
（i）當-

1

2a

＜

1

2

，即a＜-1時，需滿足f（x）_max=f（-

1

2a

）=-

1

4a

≤1及f（x）_min=f（1）=a+1≥-1，即-2≤-

1

4

；
（ii）當

1

2

＜-

1

2a

＜1，即-1≤a≤-

1

2

時，需滿足f（x）max=f（-

1

2a

）=-

1

4a

≤1，
即a≤-

1

4

，
∴-1≤a≤-

1

2

；
（iii）當-

1

2a

＞1，即-

1

2

＜a＜0，需滿足f（x）_max=f（1）=a+1≤1，這顯然成立；
③a=0的時候，不是二次函數 不合題目要求．
綜上，實數a的取值范圍是[-2，0）．

點評：分類討論的目的是分解問題難度，化整為零，各個擊破．本解法比前一解法雖然復雜不少，但是其中所蘊涵的分類討論思想與數形結合思想卻是處理很多疑難問題的“利劍”．