Question

9．已知圓心為（2，3）的圓C上的點(diǎn)到直線x+y-3=0的最短距離為$\sqrt{2}$-1．
（1）求圓C的方程；
（2）過點(diǎn)N（-1，0）的直線l與圓C交于P，Q兩點(diǎn)，且$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=12，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求△OPQ的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)圓C上的點(diǎn)到直線x+y-3=0的最短距離為$\sqrt{2}$-1，可得半徑r=圓心到直線的距離-最短距離．可得圓C的方程；
（2）設(shè)而不求的思想，直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程，設(shè)出P，Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)，且$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=12，結(jié)合韋達(dá)定理，可得k的值，即可求△OPQ的面積．

解答 解：（1）設(shè)圓的方程是（x-2）²+（y-3）²=r²，（r＞0），
∵圓心為（2，3）到直線x+y-3=0的距離d₁=$\sqrt{2}$，
且圓心為（2，3）的圓C上的點(diǎn)到直線x+y-3=0的最短距離為$\sqrt{2}$-1，
故r=1，
故圓的方程是（x-2）²+（y-3）²=1；
（2）當(dāng)直線l的斜率不存在或斜率是0時(shí)，直線和圓相離，不合題意，
從而直線的斜率必存在且不是0，
設(shè)直線l的方程為x=my-1，且P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
則$\left\{\begin{array}{l}{x=my-1}\\{{（x-2）}^{2}{+（y-3）}^{2}=1}\end{array}\right.$，消去x化簡(jiǎn)得：
（m²+1）y²-（6m+6）y+17=0，
故$\left\{\begin{array}{l}{△=3{6（m+1）}^{2}-68{（m}^{2}+1）＞0}\\{{y}_{1}{+y}_{2}=\frac{6m+6}{{m}^{2}+1}}\\{{{y}_{1}y}_{2}=\frac{17}{{m}^{2}+1}}\end{array}\right.$，
∴x₁x₂=（my₁-1）（my₂-1）=m²y₁y₂-m（y₁+y₂）+1=$\frac{1{2m}^{2}-6m+1}{{m}^{2}+1}$，
∴$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=x₁x₂+y₁y₂=$\frac{1{2m}^{2}-6m+18}{{m}^{2}+1}$=12，解得：m=1，滿足△＞0，
故直線l的方程是：x=y-1即x-y+1=0，
故該直線過圓心C（2，3），
∴|PQ|=2r=2，
又原點(diǎn)到直線l的距離為d=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故△OPQ的面積是S=$\frac{1}{2}$|PQ|•d₂=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線和圓的位置關(guān)系，考查點(diǎn)到直線的距離公式，是一道中檔題．