Question

8．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{x+2}$-$\frac{1}{x-3}$．
（1）求函數(shù)y=f（x）的定義域；
（2）若函數(shù)y=f（x）+a在區(qū)間（-2，2）上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)式子有意義列出不等式組解出即可；
（2）判斷出f（x）在（-2，2）上的單調(diào)性，根據(jù)零點(diǎn)的存在性定理列不等式解出a的范圍．

解答 解：（1）由函數(shù)式子有意義得$\left\{\begin{array}{l}{x+2≥0}\\{x-3≠0}\end{array}\right.$，
解得x≥-2且x≠3，
∴f（x）的定義域?yàn)椋簕x|-2≤x＜3或x＞3}
（2）∵f（x）=$\sqrt{x+2}$-$\frac{1}{x-3}$+a在（-2，2）上是增函數(shù)，
且在區(qū)間（-2，2）上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，
∴f（-2）•f（2）＜0，即（$\frac{1}{5}$+a）（3+a）＜0，
解得-3$＜a＜-\frac{1}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)定義域，函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理，屬于中檔題．