Question

17．已知數列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1+a_n=$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n-1}$，n∈N^*．
（Ⅰ）求a₂，a₃，a₄；
（Ⅱ）猜想數列{a_n}的通項公式，并用數學歸納法證明．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由數列{a_n}的遞推公式依次求出a₂，a₃，a₄；
（Ⅱ）根據a₂，a₃，a₄值的結構特點猜想{a_n}的通項公式，再用數學歸納法①驗證n=1成立，②假設n=k時命題成立，證明當n=k+1時命題也成立

解答 解：（Ⅰ）由題意a₁=1，a₂+a₁=$\sqrt{2}$，a₃+a₂=$\sqrt{3}$-1，a₄+a₃=2-$\sqrt{2}$
解得：a₂=$\sqrt{2}$-1，a₃=$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$，a₄=2-$\sqrt{3}$
（Ⅱ）猜想：對任意的n∈N*，a_n=$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$，
①當n=1時，由a₁=1=$\sqrt{1}$-$\sqrt{1-1}$，猜想成立．
②假設當n=k （k∈N^*）時，猜想成立，即
a_k=$\sqrt{k}$-$\sqrt{k-1}$                
則由a_k+1+a_k=$\sqrt{k+1}$-$\sqrt{k-1}$，得a_k+1=$\sqrt{k+1}$-$\sqrt{k}$，
即當n=k+1時，猜想成立，
由①、②可知，對任意的n∈N*，猜想成立，
即數列{a_n}的通項公式為a_n=$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$．

點評 本題考查數列遞推關系式的應用，數學歸納法證明數列問題的方法，考查邏輯推理能力，計算能力．注意在證明n=k+1時用上假設，化為n=k的形式，屬于中檔題．