Question

20．如圖所示，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別是B₁C₁，CC₁的中點．求：
（1）AB與DD₁所成的角；
（2）AC與B₁D₁所成的角；
（3）AC與BC₁所成的角；
（4）A₁D與EF所成的角．

Answer 1

分析 （1）由DD₁∥AA₁，得∠A₁AB是AB與DD₁所成的角，由此能求出AB與DD₁所成的角．
（2）由B₁D₁∥BD，正方形ABCD中，AC⊥BD，能求出AC與B₁D₁所成的角．
（3）由BC₁∥AD₁，得∠D₁AC是AC與BC₁所成的角，由此能求出AC與BC₁所成的角．
（4）由EF∥B₁C，A₁D∥B₁C，得EF∥A₁D，由此能求出A₁D與EF所成的角．

解答 解：（1）∵DD₁∥AA₁，
∴∠A₁AB是AB與DD₁所成的角，
∵A₁A⊥AB，∴AB與DD₁所成的角為90°．
（2）∵B₁D₁∥BD，正方形ABCD中，AC⊥BD，
∴AC與B₁D₁所成的角為90°．
（3）∵BC₁∥AD₁，
∴∠D₁AC是AC與BC₁所成的角，
∵AD₁=AC=D₁C，
∴∠D₁AC=60°，
∴AC與BC₁所成的角為60°．
（4）∵E、F分別是B₁C₁，CC₁的中點，
∴EF∥B₁C，
∵A₁D∥B₁C，
∴EF∥A₁D，
∴A₁D與EF所成的角為0°．

點評 本題考查異面直線所成角的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．