Question

2．已知直線x+y-a=0與圓x²+y²=2交于A、B兩點(diǎn)，O點(diǎn)坐標(biāo)原點(diǎn)，向量$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$滿足條件$|{2\overrightarrow{OA}-3\overrightarrow{OB}}|=|{2\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}}|$，則實(shí)數(shù)a的值為（　�。�

• A． $\sqrt{2}$
• B． $-\sqrt{2}$
• C． ±1
• D． $±\sqrt{2}$

Answer 1

分析 根據(jù)條件$|{2\overrightarrow{OA}-3\overrightarrow{OB}}|=|{2\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}}|$，兩條平方后，可得-12$\overrightarrow{0A}•\overrightarrow{OB}$=12$\overrightarrow{0A}•\overrightarrow{OB}$，即$\overrightarrow{0A}•\overrightarrow{OB}$=0．
那么∠AOB=90°，直線x+y-a=0的斜率k=-1，直線過（$-\sqrt{2}$，0）或（$\sqrt{2}$，0）．即可得實(shí)數(shù)a的值．

解答 解：由題意，$|{2\overrightarrow{OA}-3\overrightarrow{OB}}|=|{2\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}}|$，
兩條平方，可得-12$\overrightarrow{0A}•\overrightarrow{OB}$=12$\overrightarrow{0A}•\overrightarrow{OB}$，即$\overrightarrow{0A}•\overrightarrow{OB}$=0．
∴∠AOB=90°，
直線x+y-a=0的斜率k=-1，
直線必過（$-\sqrt{2}$，0）或（$\sqrt{2}$，0）．
當(dāng)x=$-\sqrt{2}$，y=0時(shí)，a=$\sqrt{2}$．
當(dāng)x=$\sqrt{2}$，y=0時(shí)，a=-$\sqrt{2}$．
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系的判斷．向量的運(yùn)用．屬于基礎(chǔ)題