Question

20．已知二次函數(shù)f（x）=a（x+b）²+c．
（1）若x=-1，函數(shù)f（x）有最小值0，且f（1）=1，求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若f（x）在（-$\frac{1}{2}$，+∞）上單調(diào)遞增，且f（x）的頂點在x軸上，求滿足f（2）+mf（-2）=mf（1）的實數(shù)m的最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出函數(shù)的解析式，
（2）由題意可得-b≤-$\frac{1}{2}$，且a＞0，c=0，再代值計算化簡f（2）+mf（-2）=mf（1），得到m=$\frac{（b+2）^{2}}{6b-3}$，利用基本不等式即可求出m的最小值．

解答 解：（1）∵x=-1，函數(shù)f（x）有最小值0，
∴b=1，c-=0，
∴f（1）=4a=1，解得a=$\frac{1}{4}$，
∴f（x）=$\frac{1}{4}$（x+1）²，
（2）∵f（x）在（-$\frac{1}{2}$，+∞）上單調(diào)遞增，且f（x）的頂點在x軸上，
∴-b≤-$\frac{1}{2}$，且a＞0，c=0
∵f（2）+mf（-2）=mf（1）
由題設(shè)可設(shè)f（x）=a（x+b）²+ma（b-2）²=ma（b+1）²
于是（b+2）²=m（6b-3）
易知b≥$\frac{1}{2}$則m=$\frac{（b+2）^{2}}{6b-3}$=$\frac{1}{12}$[（2b-1）+$\frac{25}{2b-1}$+10]≥$\frac{1}{12}$×（2$\sqrt{\frac{25}{2b-1}•（2b-1）}$+10）=$\frac{5}{3}$
當(dāng)且僅當(dāng)b=3時等號成立．
故m的最小值為$\frac{5}{3}$．

點評 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)和解析式求法以及基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．