Question

8．已知θ∈[0，2π]，而sinθ、cosθ是方程x²-kx+k+1=0的兩實數(shù)根，求k和θ的值．

Answer 1

分析 根據(jù)題意和韋達定理列出方程組，由平方關(guān)系化簡聯(lián)立列方程，求出k的值，最后要驗證三角函數(shù)值的范圍，由已知利用正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象，特殊角的三角函數(shù)值可求θ的值．

解答 解：∵sinθ，cosθ是方程x²-kx+k+1=0的兩根，
∴$\left\{\begin{array}{l}{sinθ+cosθ=k}&{①}\\{sinθcosθ=k+1}&{②}\end{array}\right.$
①平方得，1+2sinθcosθ=k²，將②代入得，
k²-2k-3=0，解得k=3或-1，
當k=3時，sinθcosθ=4，這與sinθcosθ＜1矛盾，故舍去，
當k=-1時，經(jīng)驗證符合條件．
則k的值為-1，可得：sinθ+cosθ=-1，且sinθcosθ=0，
∴當sinθ=0時，cosθ=-1，由θ∈[0，2π]，可得θ=π；
當cosθ=0時，sinθ=-1，由θ∈[0，2π]，可得θ=$\frac{3π}{2}$；

點評 本題考查了韋達定理（根與系數(shù)的關(guān)系），以及平方關(guān)系的靈活應(yīng)用，主要驗證三角函數(shù)值的范圍，考查了分類討論思想，屬于中檔題．