Question

5．已知函數$f（x）=\frac{lnx}{x+a}（{a∈R}）$．
（1）若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與直線x+y+1=0垂直，求a的值；
（2）討論方程f（x）=1的實根的情況．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，根據f′（1）=1，求出a的值即可；（2）得到a=lnx-x，通過討論a的范圍結合函數的單調性判斷方程根的情況．

解答 解：（1）由題意得：f′（x）=$\frac{\frac{x+a}{x}-lnx}{{（x+a）}^{2}}$，
故f′（1）=$\frac{1+a}{{（1+a）}^{2}}$=$\frac{1}{1+a}$，
由曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的曲線與直線x+y+1=0垂直，得：f′（1）=1，
故$\frac{1}{1+a}$=1，解得：a=0；
（2）方程f（x）=1即$\frac{lnx}{x+a}$=1，a=lnx-x，（x≠-a），
當x=-a時，得：a=ln（-a）-（-a），解得：a=-1，
a=-1時，解得：x=1，當x≠-a，即x≠1，故a=-1時，方程無實數根，
令g（x）=lnx-x，（x＞0），則g′（x）=$\frac{1-x}{x}$，（x＞0），
故x∈（0，1）時，g（x）是遞增函數，x∈（1，+∞）時，g（x）是遞減函數，
故g（x）≤g（1））=-1，
a＜-1時，由e^a∈（0，1），得：g（e^a）=lne^a-e^a=a-e^a＜a，
又e^-a∈（1，+∞），令h（x）=e^x-2x，則h′（x）=e^x-2，
在區(qū)間（1，+∞）上h′（x）＞0，h（x）遞增，
故h（x）＞h（1）＞0，即e^x＞2x，故e^-a＞-2a，
故g（e^-a）=-a-e^-a＜-a-（-2a）=a，
故a＜-1時，方程有2個實數根，
當a≥-1時，方程無實數根．

點評 本題考查了切線方程問題，考查函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及分類討論思想，轉化思想，是一道綜合題．