Question

10．已知函數(shù)f（x）=a（|sinx|+|cosx|）-$\frac{4}{9}$sin2x-1，若f（$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$-$\frac{13}{9}$．
（1）求a的值，并寫出函數(shù)f（x）的最小正周期（不需證明）；
（2）是否存在正整數(shù)k，使得函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，kπ]內(nèi)恰有2017個(gè)零點(diǎn)？若存在，求出k的值，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)f（$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$-$\frac{13}{9}$帶入即可求解a的值．因?yàn)閨sinx|、|cosx|、sin2x的周期是都π，故得函數(shù)f（x）的最小正周期．
（2）令k=1，討論[0，π]內(nèi)存在的零點(diǎn)情況，從而討論是否存在k內(nèi)恰有2017個(gè)零點(diǎn)即可．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=a（|sinx|+|cosx|）-$\frac{4}{9}$sin2x-1，
∵f（$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$-$\frac{13}{9}$．
∴a（sin$\frac{π}{4}$+cos$\frac{π}{4}$）-$\frac{4}{9}$sin$\frac{π}{2}$-1=$\sqrt{2}$-$\frac{13}{9}$．
解得：a=1，
函數(shù)f（x）的最小正周期T=π，
（2）存在n=504，滿足題意：
理由如下：
當(dāng)$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$時(shí)，$f（x）=（sinx+cosx）-\frac{4}{9}sin2x-1$，
設(shè)t=sinx+cosx，則 $t∈[{1，\sqrt{2}}]$，sin2x=t²-1，
則$g（t）=\frac{-4}{9}{t^2}+t-\frac{5}{9}$，$\frac{-4}{9}{t^2}+t-\frac{5}{9}=0$可得 t=1或$t=\frac{5}{4}$，
由t=sinx+cosx圖象可知，x在$[{0，\frac{π}{2}}]$上有4個(gè)零點(diǎn)滿足題意．
當(dāng)$x∈（\frac{π}{2}，π）$時(shí)，$f（x）=（sinx-cosx）-\frac{4}{9}sin2x-1$，t=sinx-cosx，
則 $t∈（{1，\sqrt{2}}]$，sin2x=1-t²，
$h（t）=\frac{4}{9}{t^2}+t-\frac{13}{9}$，$\frac{4}{9}{t^2}+t-\frac{13}{9}=0$，t=1或$t=-\frac{13}{4}$，
∵$t∈（{1，\sqrt{2}}]$，
∴x在$（{\frac{π}{2}，π}）$上不存在零點(diǎn)．
 綜上討論知：函數(shù)f（x）在[0，π）上有4個(gè)零點(diǎn)，而2017=4×504+1，
因此函數(shù)在[0，504π]有2017個(gè)零點(diǎn)，所以存在正整數(shù)k=504滿足題意．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查對(duì)三角函數(shù)的化簡(jiǎn)能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的綜合運(yùn)用．屬于中檔題．