Question

已知函數(shù)f（x）=

ex-1

ex+1

．
（1）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并給予證明；
（2）若f（x）＞-m²+2bm-1對所有x∈R，b∈[-1，1]恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用“分離常數(shù)法”將y=f（x）轉(zhuǎn)化為f（x）=1-

2

ex+1

，利用函數(shù)單調(diào)性的定義可證明f（x）=1-

2

ex+1

為R上的增函數(shù)；
（2）利用等價轉(zhuǎn)化思想，可將f（x）＞-m²+2bm-1對所有x∈R，b∈[-1，1]恒成立，轉(zhuǎn)化為m²-2bm≥0，b∈[-1，1]恒成立，再構(gòu)造函數(shù)g（b）=m²-2bm，利用g（-1）=m²+2m≥0，且g（1）=m²-2m≥0即可求得實數(shù)m的取值范圍．

解答： 解：（1）f（x）=

(ex+1)-2

ex+1

=1-

2

ex+1

，是R上的增函數(shù)．
設(shè)x₁＜x₂，因為e＞1，所以ex1+1＜ex2+1，
從而

2

ex1+1

＞

2

ex2+1

，
于是　1-

2

ex1+1

＜1-

2

ex2+1

，
即f（x₁）＜f（x₂），f（x）在R上是增函數(shù)．
（2）因為f（x）＞-m²+2bm-1對所有x∈R，b∈[-1，1]恒成立，而f（x）∈（-1，1），
所以-1≥-m²+2bm-1，b∈[-1，1]恒成立，
即m²-2bm≥0，b∈[-1，1]恒成立，
令g（b）=m²-2bm，b∈[-1，1]，則g（b）是單調(diào)函數(shù)，
所以，g（-1）=m²+2m≥0，且g（1）=m²-2m≥0，
解得m≥2，或m=0，或m≤-2．

點評：本題考查函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，考查函數(shù)恒成立問題，（2）中，構(gòu)造函數(shù)g（b）=m²-2bm，利用g（-1）=m²+2m≥0，且g（1）=m²-2m≥0確定m的取值范圍是關(guān)鍵，也是難點與易錯點，屬于難題．