Question

已知函數(shù)f（x）=lnx-ax+

1-a

x

-1（a為正實(shí)數(shù)）
（1）設(shè)0＜a＜1時，試討論f（x）的單調(diào)性；
（2）設(shè)g（x）=x²-2bx+4，當(dāng)a=

1

4

時，
①若?x₁∈（0，2），存在x₂∈[1，2]，使f（x₁）≥g（x₂），求實(shí)數(shù)b的取值范圍．
②對于任意x₁，x₂∈（1，2]都有|f（x₁）-f（x₂）|≤λ|

1

x1

-

1

x2

|，求λ的值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題,對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）先求導(dǎo)，得到f′（x）═-

a(x- 1-a a )(x-1)

x2

，分a=

1

2

時，0＜a＜

1

2

時，

1

2

＜a＜1時3種情況分別討論，最后綜合討論結(jié)果，即可得到f（x）的單調(diào)性；
（2）①由（1）的結(jié)論，f（x）在（0，1）上是減函數(shù)，在（1，2）上是增函數(shù)，則f（x₁）≥g（x₂），可轉(zhuǎn)化為f（x₂）≤-

1

2

，由g（x）=x²-2bx+4，我們易由函數(shù)恒成立問題的處理方法，求出滿足條件的實(shí)數(shù)b取值范圍．
②由（1）中結(jié)論函數(shù)f（x）單調(diào)性，構(gòu)造函數(shù)h（x）=f（x）+

λ

x

，可得函數(shù)h（x）是減函數(shù)，根據(jù)h'（x）≤0在（1，2]上恒成立，可構(gòu)造關(guān)于λ的不等式，解不等式即可得到答案．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
∴f′（x）=

1

x

-ax+

1-a

x2

=

-ax2+x+a-1

x2

=-

(ax-1+a)(x-1)

x2

=-

a(x- 1-a a )(x-1)

x2

令f′（x）=0，解得x=1，或x=

1-a

a

，
①當(dāng)

1-a

a

=1時，即a=

1

2

，f′（x）≤0恒成立，
∴函數(shù)f（x）在（0，+∞）為減函數(shù)，
②當(dāng)

1-a

a

＞1時，即0＜a＜

1

2

時，
令f′（x）＞0，即1＜x＜

1-a

a

，函數(shù)遞增，
令f′（x）＜0，即0＜x＜1，或x＞

1-a

a

，函數(shù)遞減，
∴函數(shù)f（x）在（1，

1-a

a

）上是增函數(shù)，在（0，1）和（

1-a

a

，+∞）上是減函數(shù)
③當(dāng)

1-a

a

＜1時，即

1

2

＜a＜1時，
令f′（x）＞0，即

1-a

a

＜x＜1，函數(shù)遞增，
令f′（x）＜0，即0＜x＜

1-a

a

，或x＞1函數(shù)遞減，
∴函數(shù)f（x）在（

1-a

a

，1）上是增函數(shù)，在（0，

1-a

a

）和（1，+∞）上是減函數(shù)
（2）①當(dāng)a=

1

4

時，時，f（x）在（0，1）上是減函數(shù)，在（1，2）上是增函數(shù)，
∴對任意x₁∈（0，2），有f（x₁）≥f（1）=-

1

2

，
又已知存在x₂∈[1，2]，使f（x₁）≥g（x₂），所以-

1

2

≥g（x₂），x₂∈[1，2]，
即存在x∈[1，2]，使g（x）=x²-2bx+4≤-

1

2

，即2b≥x+

9 2

x

∈[

17

4

，

11

2

]，
∴2b≥

17

4

，解得b≥

17

8

，即實(shí)數(shù)b取值范圍是[

17

8

，+∞）
（②）不妨設(shè)1＜x₁≤x₂≤2，由函數(shù)f（x）在（1，2]上是增函數(shù)，函數(shù)y=

1

x

在（1，2]是減函數(shù)，
∴|f（x₁）-f（x₂）|≤λ|

1

x1

-

1

x2

|，等價于，f（x₂）-f（x₁）≤λ（

1

x1

-

1

x2

），
∴f（x₂）+λ

1

x2

）≤f（x₁）+λ

1

x1

，
設(shè)h（x）=f（x）+

λ

x

=lnx-

1

4

x+

3

4x

+

λ

x

是減函數(shù)
∴h'（x）≤0在（1，2]上恒成立，
即

3

4

+λ≥x-

1

4

x2=-

1

4

（x-2）²+1
解得λ≥

1

4

．

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)恒成立問題，其中（1）的關(guān)鍵是對a值進(jìn)行分類討論，而（2）的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，屬于難題