分析 (1)以A為坐標原點O,分別以AB,AC,AA1所在直線為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標系O-xyz,利用向量法能求出直線PC與平面A1BC所成的角的正弦值.
(2)求出平面PA1C的法向量和平面PA1C的法向量,利用向量法能求出λ的值.
解答 解:(1)以A為坐標原點O,分別以AB,AC,AA1所在直線為x軸、y軸、z軸,
建立空間直角坐標系O-xyz.
∵AB=AC=1,AA1=2,則A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),
A1(0,0,2),B1(1,0,2),P(1,0,2λ).…(1分)
由λ=\frac{1}{3}得,\overrightarrow{CP}=(1,-1,\frac{2}{3}),\overrightarrow{{A_1}B}=(1,0,-2),\overrightarrow{{A_1}C}=(0,1,-2),
設平面A1BC的法向量為\overrightarrow{n}=(x1,y1,z1),由\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}B}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}C}=0}\end{array}\right.,得\left\{\begin{array}{l}{x_1}-2{z_1}=0\\{y_1}-2{z_1}=0.\end{array}\right.
取z1=1,則x1=y1=2,從而平面A1BC的一個法向量為\overrightarrow{n}=(2,2,1).…(3分)
設直線PC與平面A1BC所成的角為θ,
則sinθ=|cos<\overrightarrow{CP},\overrightarrow{n}>|=\frac{|\overrightarrow{CP}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{CP}|•|\overrightarrow{n}|}=\frac{\sqrt{22}}{33},
∴直線PC與平面A1BC所成的角的正弦值為\frac{{\sqrt{22}}}{33}.…(5分)
(2)設平面PA1C的法向量為\overrightarrow{m}=(x2,y2,z2),\overrightarrow{{A_1}P}=(1,0,\;2λ-2),
由\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{{A}_{1}C}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{{A}_{1}P}=0}\end{array}\right.,得\left\{\begin{array}{l}{y_2}-2{z_2}=0\\{x_2}+(2λ-2){z_2}=0.\end{array}\right.
取z2=1,則x2=2-2λ,y2=2,平面PA1C的法向量為\overrightarrow{m}=(2-2λ,2,1).…(7分)
則cos<\overrightarrow{m},\overrightarrow{n}>=\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}=\frac{9-4λ}{3\sqrt{4{λ}^{2}-8λ+9}},
又∵二面角P-A1C-B的正弦值為\frac{2}{3},∴\frac{9-4λ}{{3\sqrt{4{λ^2}-8λ+9}}}=\frac{{\sqrt{5}}}{3},…(9分)
化簡得λ2+8λ-9=0,解得λ=1或λ=-9(舍去),
故λ的值為1. …(10分)
點評 本題考查線面角的正弦值的求法,考查實數(shù)值的求法,是中檔題,解題時要認真審題,注意向量法的合理運用.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | y=x3 | B. | y=cosx | C. | y=ln\frac{1-x}{1+x} | D. | y=ex |
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A. | 30° | B. | 60° | C. | 90° | D. | 120° |
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