分析 (1)以A為坐標原點O,分別以AB,AC,AA1所在直線為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標系O-xyz,利用向量法能求出直線PC與平面A1BC所成的角的正弦值.
(2)求出平面PA1C的法向量和平面PA1C的法向量,利用向量法能求出λ的值.
解答 解:(1)以A為坐標原點O,分別以AB,AC,AA1所在直線為x軸、y軸、z軸,
建立空間直角坐標系O-xyz.
∵AB=AC=1,AA1=2,則A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),
A1(0,0,2),B1(1,0,2),P(1,0,2λ).…(1分)
由λ=13得,→CP=(1,−1,23),→A1B=(1,0,−2),→A1C=(0,1,−2),
設平面A1BC的法向量為→n=(x1,y1,z1),由{→n•→A1B=0→n•→A1C=0,得{x1−2z1=0y1−2z1=0.
取z1=1,則x1=y1=2,從而平面A1BC的一個法向量為→n=(2,2,1).…(3分)
設直線PC與平面A1BC所成的角為θ,
則sinθ=|cos<→CP,→n>|=|→CP•→n||→CP|•|→n|=√2233,
∴直線PC與平面A1BC所成的角的正弦值為√2233.…(5分)
(2)設平面PA1C的法向量為→m=(x2,y2,z2),→A1P=(1,0,2λ−2),
由{→m•→A1C=0→m•→A1P=0,得{y2−2z2=0x2+(2λ−2)z2=0.
取z2=1,則x2=2-2λ,y2=2,平面PA1C的法向量為→m=(2-2λ,2,1).…(7分)
則cos<→m,→n>=→m•→n|→m|•|→n|=9−4λ3√4λ2−8λ+9,
又∵二面角P-A1C-B的正弦值為23,∴9−4λ3√4λ2−8λ+9=√53,…(9分)
化簡得λ2+8λ-9=0,解得λ=1或λ=-9(舍去),
故λ的值為1. …(10分)
點評 本題考查線面角的正弦值的求法,考查實數(shù)值的求法,是中檔題,解題時要認真審題,注意向量法的合理運用.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | y=x3 | B. | y=cosx | C. | y=ln1−x1+x | D. | y=ex |
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A. | 30° | B. | 60° | C. | 90° | D. | 120° |
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