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7.如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面△ABC是直角三角形,AB=AC=1,點P是棱BB1上一點,滿足BP=λBB1(0≤λ≤1).
(1)若λ=13,求直線PC與平面A1BC所成角的正弦值;
(2)若二面角P-A1C-B的正弦值為23,求λ的值.

分析 (1)以A為坐標原點O,分別以AB,AC,AA1所在直線為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標系O-xyz,利用向量法能求出直線PC與平面A1BC所成的角的正弦值.
(2)求出平面PA1C的法向量和平面PA1C的法向量,利用向量法能求出λ的值.

解答 解:(1)以A為坐標原點O,分別以AB,AC,AA1所在直線為x軸、y軸、z軸,
建立空間直角坐標系O-xyz.
∵AB=AC=1,AA1=2,則A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),
A1(0,0,2),B1(1,0,2),P(1,0,2λ).…(1分)
λ=13得,CP=1123A1B=102,A1C=012,
設平面A1BC的法向量為n=(x1,y1,z1),由{nA1B=0nA1C=0,得{x12z1=0y12z1=0.
取z1=1,則x1=y1=2,從而平面A1BC的一個法向量為n=(2,2,1).…(3分)
設直線PC與平面A1BC所成的角為θ,
則sinθ=|cos<CPn>|=|CPn||CP||n|=2233,
∴直線PC與平面A1BC所成的角的正弦值為2233.…(5分)
(2)設平面PA1C的法向量為m=(x2,y2,z2),A1P=102λ2,
{mA1C=0mA1P=0,得{y22z2=0x2+2λ2z2=0.
取z2=1,則x2=2-2λ,y2=2,平面PA1C的法向量為m=(2-2λ,2,1).…(7分)
則cos<mn>=mn|m||n|=94λ34λ28λ+9,
又∵二面角P-A1C-B的正弦值為23,∴94λ34λ28λ+9=53,…(9分)
化簡得λ2+8λ-9=0,解得λ=1或λ=-9(舍去),
故λ的值為1. …(10分)

點評 本題考查線面角的正弦值的求法,考查實數(shù)值的求法,是中檔題,解題時要認真審題,注意向量法的合理運用.

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