Question

5．在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，且PA=AD=2，E，F(xiàn)分別是棱AD，PC的中點(diǎn)．
（1）求證：EF∥平面PAB；
（2）求證：EF⊥平面PBC．

Answer 1

分析 （1）設(shè)G是PB的中點(diǎn)，連接AG，GF，由已知條件能推導(dǎo)出AEFG是平行四邊形，從而能夠證明EF∥平面PAB．
（2）由已知條件推導(dǎo)出AG⊥PB，PA⊥BC，BC⊥AB，從而得到BC⊥AG，由此能夠證明EF⊥平面PBC．

解答 （本小題滿分7分）
證明：（1）設(shè)G是PB的中點(diǎn)，連接AG，GF，
∵E，F(xiàn)分別是AD，PC的中點(diǎn)，
∴GF$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$BC，AE$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$BC，
∴GF$\stackrel{∥}{=}$AE，
∴AEFG是平行四邊形，
∴EF$\stackrel{∥}{=}$AG，…（2分）
∵EF?平面PAB，AG?平面PAB，
∴EF∥平面PAB．…（3分）
（2）∵PA=AB，
∴AG⊥PB，…（4分）
∵PA⊥面ABCD，
∴PA⊥BC，
又∵BC⊥AB，
∴BC⊥平面PAB，
∴BC⊥AG，…（6分）
∵PB與BC相交，
∴AG⊥平面PBC，
∵EF∥AG，
∴EF⊥平面PBC．…（7分）

點(diǎn)評 本題考查直線與平面平行、直線與平面垂直的證明，考查空間想象能力和推理論證能力，屬于中檔題．