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5.在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是正方形,且PA=AD=2,E,F(xiàn)分別是棱AD,PC的中點(diǎn).
(1)求證:EF∥平面PAB;
(2)求證:EF⊥平面PBC.

分析 (1)設(shè)G是PB的中點(diǎn),連接AG,GF,由已知條件能推導(dǎo)出AEFG是平行四邊形,從而能夠證明EF∥平面PAB.
(2)由已知條件推導(dǎo)出AG⊥PB,PA⊥BC,BC⊥AB,從而得到BC⊥AG,由此能夠證明EF⊥平面PBC.

解答 (本小題滿分7分)
證明:(1)設(shè)G是PB的中點(diǎn),連接AG,GF,
∵E,F(xiàn)分別是AD,PC的中點(diǎn),
∴GF=12BC,AE=12BC,
∴GF=AE,
∴AEFG是平行四邊形,
∴EF=AG,…(2分)
∵EF?平面PAB,AG?平面PAB,
∴EF∥平面PAB.…(3分)
(2)∵PA=AB,
∴AG⊥PB,…(4分)
∵PA⊥面ABCD,
∴PA⊥BC,
又∵BC⊥AB,
∴BC⊥平面PAB,
∴BC⊥AG,…(6分)
∵PB與BC相交,
∴AG⊥平面PBC,
∵EF∥AG,
∴EF⊥平面PBC.…(7分)

點(diǎn)評 本題考查直線與平面平行、直線與平面垂直的證明,考查空間想象能力和推理論證能力,屬于中檔題.

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