Question

已知函數f（x）=（x-a）²e^x（a≠0）．
（1）求函數f（x）的單調區(qū)間；
（2）設函數g（x）=f'（x）-f（x），若函數g（x）在x=a處的切線與x軸交于A點．與y軸交于B點，求△ABO的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）可求得f′（x）=（x-a）（x-a+2）e^x，令f′（x）＞0，可求其單調遞增區(qū)間，f′（x）＜0，可求其單調遞減區(qū)間；
（2）由（1）知g（x）=2（x-a）e^x，g′（x）=（x-a+2）e^x，可求得k=g′（a），從而可得g（x）在x=a處的切線方程，求得函數g（x）在x=a處的切線與兩坐標軸的交點，從而可求得△ABO的面積．
解答：解：（1）∵f′（x）=（x-a）（x-a+2）e^x，
令f′（x）＞0，得x＜a-2，或x＞a，令f′（x）＜0，得a-2＜x＜a，
∴函數f（x）在（-∞，a-2）上是增函數，在（a-2，a）上是減函數，在（a，+∞）上是增函數；
故單調遞增區(qū)間為（-∞，a-2），（a，+∞）；單調遞減區(qū)間為（a-2，a）；
（2）由（1）知g（x）=2（x-a）e^x，g′（x）=（x-a+2）e^x，
k=g′（a）=2e^a，
故函數g（x）在x=a處的切線方程為：y=2e^a（x-a），故點A（a，0），B（0，-2ae^a），
于是，△ABO的面積為S=×|a|×|-2ae^a|=a²e^a．
點評：本題考查利用導數研究函數的單調性，考查利用導數研究曲線上某點切線方程，屬于中檔題．