Question

已知過(guò)橢圓

x2

a2

+y²=1（a＞1）的頂點(diǎn)B（0，-1），做橢圓的弦AB，求|AB|的最大值，并求此時(shí)的A的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：由點(diǎn)A是橢圓

x2

a2

+y²=1（a＞1）上的一點(diǎn)，可設(shè)A（acosθ，sinθ）（θ∈[0，2π））．利用兩點(diǎn)之間的距離公式可得|AB|²=（acosθ）²+（sinθ+1）²=(1-a2)(sinθ-

1

a2-1

)2+1+a²-

1

1-a2

．對(duì)a分類討論利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答： 解：由點(diǎn)A是橢圓

x2

a2

+y²=1（a＞1）上的一點(diǎn)，
可設(shè)A（acosθ，sinθ）（θ∈[0，2π））．
∴|AB|²=（acosθ）²+（sinθ+1）²
=a²cos²θ+sin²θ+2sinθ+1
=(1-a2)(sinθ-

1

a2-1

)2+1+a²-

1

1-a2

．
當(dāng)1＜a²＜2時(shí)，

1

a2-1

＞1，當(dāng)sinθ=1時(shí)，|AB|²取得最大值4，即AB|取得最大值2，此時(shí)A（0，1）．
當(dāng)a²≥2時(shí)，0＜

1

a2-1

≤1，當(dāng)sinθ=

1

a2-1

時(shí)，|AB|²取得最大值1+a²-

1

1-a2

，即AB|取得最大值

a2 a2-1

a2-1

，此時(shí)A(

±a a2-2

a2-1

，

1

a2-1

)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的參數(shù)方程、兩點(diǎn)之間的距離公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力 與計(jì)算能力，屬于難題．