Question

11．在極坐標系中，圓 C以點C（2，$\frac{π}{3}$）為圓心，2為半徑．在以極點為原點，以極軸為x軸正半軸且單位長度一樣的直角坐標系中，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2-\frac{1}{2}t}\\{y=\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）
（1）求圓C的直角坐標方程；
（2）設圓C與直線l交于點A，B．若點P的坐標為（2，$\sqrt{3}$），求|PA|+|PB|．

Answer 1

分析 （1）將極坐標方程轉化成直角坐標系方程，求得C點坐標，半徑為2，寫出圓C的直角坐標方程；
（2）點P（2，$\sqrt{3}$）在直線l上且在圓的外部，把直線的參數(shù)方程代入圓的方程，由直線的參數(shù)t的幾何意義得答案．

解答 解：（1）圓C的極坐標方程為ρ=4cos（θ-$\frac{π}{3}$），
ρ=2cosθ+2$\sqrt{3}$sinθ，
ρ²=2ρcosθ+2$\sqrt{3}$ρsinθ，
∴圓C的直角坐標方程為：x²+y²-2x-2$\sqrt{3}$y=0（或（x-1）²+（y-$\sqrt{3}$）²=4）；
（2）∵直線l$\left\{\begin{array}{l}x=2-\frac{1}{2}t\\ y=\sqrt{3}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.（t為參數(shù)）$恰過定點P（2，$\sqrt{3}$），
將$\left\{\begin{array}{l}x=2-\frac{1}{2}t\\ y=\sqrt{3}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.（t為參數(shù)）$代入圓C的直角坐標方程，得t²-t-3=0，
∴△=1-4×（-3）=13＞0，t₁+t₂=1＞0，t₁•t₂=-3＜0，
∴t₁、t₂異號，
∴|PA|+|PB|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\sqrt{13}$．

點評 本題考查了極坐標方程化直角坐標方程，考查了直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義，是中檔題．