Question

8．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥平面BB₁C₁C，∠CC₁B₁=$\frac{2π}{3}$，AB=BB₁=2，BC=1，D為CC₁的中點(diǎn)．
（I） 求證：DB₁⊥平面ABD；
（II） 求點(diǎn)A₁到平面AB₁D的距離．

Answer 1

分析 （I）推導(dǎo)出AB⊥DB₁，DB₁⊥BD，由此能證明DB₁⊥平面ABD．
（II）過D作DE⊥BB₁交BB₁于E，則DE⊥平面AA₁B₁，設(shè)點(diǎn)A₁到平面AB₁D的距離為h，由${V_{{A_1}-AD{B_1}}}={V_{D-A{A_1}{B_1}}}$，能求出點(diǎn)A₁到平面AB₁D的距離．

解答 證明：（I）∵AB⊥平面BB₁C₁C，∴AB⊥DB₁…（1分）
在△DB₁C₁中，∠B₁C₁D=120°，B₁C₁=DC₁=1，∴∠B₁DC₁=30°，
在△DBC中，∠BCD=60°，BC=DC=1，
∴∠BDC=60°，則∠B₁DB=90°，∴DB₁⊥BD…（4分）     
又AB∩BD=B，∴DB₁⊥平面ABD…（6分）
解：（II）過D作DE⊥BB₁交BB₁于E，則DE⊥平面AA₁B₁，
由（I）得BD=1，${B_1}D=\sqrt{3}$，∴$DE=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∵AA₁=BB₁=2，A₁B₁=AB=2，AB⊥平面BB₁C₁C，
∴${S_{△A{A_1}{B_1}}}=\frac{1}{2}A{A_1}•{A_1}{B_1}=2$，
∴${V_{D-A{A_1}{B_1}}}=\frac{1}{3}{S_{△A{A_1}{B_1}}}•DE=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$…（9分）
由（I）知DB₁⊥平面ABD，∴DB₁⊥AD，
又$AD=\sqrt{A{B^2}+B{D^2}}=\sqrt{5}$，${B_1}D=\sqrt{3}$，
∴${S_{△AD{B_1}}}=\frac{1}{2}AD•D{B_1}=\frac{{\sqrt{15}}}{2}$，
設(shè)點(diǎn)A₁到平面AB₁D的距離為h，
則由${V_{{A_1}-AD{B_1}}}={V_{D-A{A_1}{B_1}}}$，得$h=\frac{2}{5}\sqrt{5}$，
∴點(diǎn)A₁到平面AB₁D的距離為$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．…（12分）

點(diǎn)評 本題考查線面垂直的證明，考查點(diǎn)到平面的距離的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．