Question

18．如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB＞1，點(diǎn)E在棱AB上移動，小螞蟻從點(diǎn)A沿長方體的表面爬到點(diǎn)C₁，所爬的最短路程為2$\sqrt{2}$．則該長方體外接球的表面積為6π．

Answer 1

分析 根據(jù)四邊形ADD₁A是正方形，則小螞蟻從點(diǎn)A沿長方體的表面爬到點(diǎn)C₁可能有兩種途徑，然后比較兩個路程的大小從而求出AB的長，從而求得該長方體外接球的表面積．

解答 解：（1）設(shè)AB=x，點(diǎn)A到點(diǎn)C₁可能有兩種途徑，如圖甲的最短路程為|AC₁|=$\sqrt{{x}^{2}+4}$．
如圖乙的最短路程為|AC₁|=$\sqrt{{x}^{2}+2x+2}$，

圖甲　　　　　　　　　　　圖乙
∵x＞1，∴x²+2x+2＞x²+2+2=x²+4，故從點(diǎn)A沿長方體的表面爬到點(diǎn)C₁的最短距離為$\sqrt{{x}^{2}+4}$=2$\sqrt{2}$
解得x=2．即AB的長度為2．
設(shè)長方體外接球的半徑為R，則（2R）²=1²+1²+2²=6，
∴R²=$\frac{3}{2}$，∴S_表=4πR²=6π．
即該長方體外接球的表面積為6π．
故答案為：6π

點(diǎn)評 本題考查棱柱的結(jié)構(gòu)特征，考查分類討論思想，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．