9．已知直三棱柱ABC-A′B′C′中，AB=AC=AA′=2，AB⊥AC，則直三棱柱ABC-A′B′C′的外接球的體積為4$\sqrt{3}$π．

分析 依題意可得△ABC，△A′B′C′的外接圓的圓心O1，O2分別是斜邊BC，B′C′的中點，
可得直三棱柱ABC-A′B′C′的外接球的球心O為O1O2的中點，
球半徑R=$\sqrt{O{{O}_{1}}^{2}+{O}_{1}{C}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+（\sqrt{2}）^{2}}=\sqrt{3}$，即可求得直三棱柱ABC-A′B′C′的外接球的體積

解答 解：∵AB=AC=2，AB⊥AC，∴△ABC，△A′B′C′的外接圓的圓心O1，O2分別是斜邊BC，B′C′的中點，
可得直三棱柱ABC-A′B′C′的外接球的球心O為O1O2的中點，
球半徑R=$\sqrt{O{{O}_{1}}^{2}+{O}_{1}{C}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+（\sqrt{2}）^{2}}=\sqrt{3}$．
∴則直三棱柱ABC-A′B′C′的外接球的體積為$\frac{4}{3}π{R}^{3}$=4$\sqrt{3}π$．
故答案為：4$\sqrt{3}$π

點評 本題給出了直三棱柱，求它的外接球體積，著重考查了直三棱柱的性質(zhì)、球的體積公式和多面體的外接球等知識，屬于基礎(chǔ)題．

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