Question

3．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a₁=-1，a_n+1=S_nS_n+1，計(jì)算S₁，S₂，S₃，由此推測(cè)計(jì)算S_n的公式，并給出證明．

Answer 1

分析 先根據(jù)數(shù)列的遞推公式，代值計(jì)算即可，由此得到數(shù)列的通項(xiàng)公式，證明方法一，根據(jù)遞推公式可得{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是以首項(xiàng)為-1，公差為-1的等差數(shù)列，
方法二．利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可．

解答 解：由a₁=-1，a_n+1=S_nS_n+1，得S_n+1-S_n=S_nS_n+1，即S_n+1=$\frac{{S}_{n}}{1-{S}_{n}}$，
∴S₁=-1，S₂=-$\frac{1}{2}$，S₃=-$\frac{1}{3}$，由此推測(cè)計(jì)算S_n=-$\frac{1}{n}$，
證明方法一：由S_n+1-S_n=S_nS_n+1，可得$\frac{1}{{S}_{n+1}}$-$\frac{1}{{S}_{n}}$=-1，S_n≠0，
∵$\frac{1}{{S}_{1}}$=-1，
∴{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是以首項(xiàng)為-1，公差為-1的等差數(shù)列，
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=-1-（n-1）=-n，
∴S_n=-$\frac{1}{n}$，
證明方法二（數(shù)學(xué)歸納法），
①當(dāng)n=1時(shí)，S₁=a₁=-1，右邊=-1，等式成立，
②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)成立，即S_k=-$\frac{1}{k}$，
那么當(dāng)n=k+1時(shí)，S_k+1=$\frac{{S}_{k}}{1-{S}_{k}}$=$\frac{-\frac{1}{k}}{1-（-\frac{1}{k}）}$=-$\frac{1}{k+1}$，
∴當(dāng)n=k+時(shí)，等式也成立，
由①②可得，對(duì)任意n∈N*，S_n=-$\frac{1}{n}$成立

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)學(xué)的遞推公式和數(shù)學(xué)歸納法，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．