Question

11．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{ln（1-x），x＜1}\\{\frac{2}{x-1}，x＞1}\end{array}\right.$，g（x）=$\frac{k}{{x}^{2}}$（k＞0），對任意p∈（1，+∞），總存在實數(shù)m，n滿足m＜0＜n＜p，使得f（p）=f（m）=g（n），則整數(shù)k的最大值為7．

Answer 1

分析 易知g（n）＞g（p），若f（p）=g（n），則對任意p＞1，有h（p）＞g（p）．當(dāng)x＞1時，分離參數(shù)求最值，可得k≤7．再證明：當(dāng)k=7時，對0＜x＜1，有f（x）＜g（x）．同時，當(dāng)x∈（0，+∞）時，g（x）=$\frac{7}{{x}^{2}}$∈（0，+∞）．當(dāng)x∈（0，1）時，h（x）∈R；當(dāng)x∈（1，+∞）時，h（x）∈（0，+∞）．結(jié)合函數(shù)的圖象可知，結(jié)論成立時k的最大值．

解答 解：顯然g（x）=$\frac{k}{{x}^{2}}$（k＞0），在區(qū)間（1，+∞）上為減函數(shù)，
于是g（n）＞g（p），若f（p）=g（n），則對任意p＞1，有f（p）＞g（p）．
當(dāng)x＞1時，$\frac{2}{x-1}$＞$\frac{k}{{x}^{2}}$，∴k＜$\frac{2{x}^{2}}{x-1}$，
設(shè)t=x-1（t＞0），則$\frac{2{x}^{2}}{x-1}$=$\frac{2（t+1）^{2}}{t}$=2（t+$\frac{1}{t}$+2）≥8，
∴k＜8
∴k≤7．                                              
下面證明：當(dāng)k=7時，對0＜x＜1，有f（x）＜g（x）．
當(dāng)0＜x＜1時，f（x）＜g（x）?$\frac{7}{{x}^{2}}$-ln（1-x）＞0．
令ψ（x）=$\frac{7}{{x}^{2}}$-ln（1-x）（0＜x＜1），
則ψ′（x）=-$\frac{14}{{x}^{3}}$+$\frac{1}{1-x}$＜0，故ψ（x）在（0，1）上為減函數(shù)，
于是ψ（x）＞0．
同時，當(dāng)x∈（0，+∞）時，g（x）=$\frac{7}{{x}^{2}}$∈（0，+∞）．
當(dāng)x∈（0，1）時，f（x）∈R；當(dāng)x∈（1，+∞）時，f（x）∈（0，+∞）．
結(jié)合函數(shù)的圖象可知，對任意的正數(shù)p，存在實數(shù)m、n滿足0＜m＜n＜p，使得f（p）=f（m）=g（n）．
綜上所述，正整數(shù)k的最大值為7．
故答案為：7．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合運用，考查分離參數(shù)方法的運用，考查基本不等式的運用，能力要求高．