Question

【題目】設(shè)，函數(shù)，為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù).

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若函數(shù)與函數(shù)存在相同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的值；

（3）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）（3）

【解析】

（1）首先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再對分類討論可得；

（2）由（1）可知時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)是，經(jīng)檢驗(yàn)不符題意，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)是和，分別計(jì)算可得；

（3）結(jié)合（1）求出，再分類討論可得.

解：（1）因?yàn)?/span>

所以，

當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

所以函數(shù)在和在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

同理當(dāng)時(shí)，函數(shù)在和在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)是0，而，所以不合題意，舍去；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)是和，

因?yàn)?/span>，

所以由函數(shù)與函數(shù)存在相同的零點(diǎn)，

得，即，解得.

（3）由（1）得，

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，此時(shí)函數(shù)在區(qū)間上的最小值為；

當(dāng)，即時(shí)，

函數(shù)在區(qū)間上的最小值為；

當(dāng)，即時(shí)，

因?yàn)?/span>，，

所以，此時(shí)函數(shù)的最小值為.

所以函數(shù)在區(qū)間上的最小值為