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16.設F1,F(xiàn)2是雙曲線x2a2-y22=1(a>0,b>0)的左、右焦點,A是其右支上一點,連接AF1交雙曲線的左支于點B,若|AB|=|AF2|,且∠BAF2=60°,則該雙曲線的離心率為7

分析 根據(jù)雙曲線的定義,建立方程關系求出BF1,BF1的大小,利用余弦定理進行求解即可.

解答 解:作出相應的圖象如圖:
∵|AB|=|AF2|,且∠BAF2=60°,
∴△BAF1為等邊三角形
設|AB|=|AF2|=x,
則|AF1|-|AF2|=2a,
即|BF1|=2a,
由|BF2|-|BF1|=2a,
則|BF2|=|BF1|+2a=2a+2a=4a,
∠F1BF2=120°,
在三角形BF1F1,中,
4c2=4a2+16a2-2×2a×4a×(-12),
即4c2=4a2+16a2+8a2=28a2,
即c2=7a2,
則c=7a,
即e=ca=7,
故答案為:7

點評 本題主要考查雙曲線離心率的計算,根據(jù)雙曲線的定義建立方程關系,以及利用余弦定理結合雙曲線離心率的定義是解決本題的關鍵.

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