Question

8．已知函數(shù)f（x）=-x³+12x+m．
（1）若x∈R，求函數(shù)f（x）的極大值與極小值之差；
（2）若函數(shù)y=f（x）有三個零點，求m的取值范圍；
（3）當x∈[-1，3]時，f（x）的最小值為-2，求f（x）的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出導函數(shù)求出極值點，然后求解即可．
（2）利用（1）的結果，列出不等式求解即可．
（3）利用函數(shù)的最值求解m，然后求解最大值即可．

解答 解：（1）f′（x）=-3x²+12．
當f′（x）=0時，x=-2或x=2．
當f′（x）＞0時，-2＜x＜2．
當f′（x）＜0時，x＜-2或x＞2．
∴f（x）在（-∞，-2），（2，+∞）上單調遞減，在（-2，2）上單調遞增．
∴f（x）_極小值=f（-2）=-16+m．
f（x）_極大值=f（2）=16+m．
∴f（x）_極大值-f（x）_極小值=32．
（2）由（1）知要使函數(shù)y=f（x）有三個零點，必須即
∴-16＜m＜16．
∴m的取值范圍為（-16，16）．
（3）當x∈[-1，3]時，由（1）知f（x）在[-1，2）上單調遞增，f（x）在[2，3]上單調遞減，
f（x）的最大值為f（2）．
又f（-1）=-11+m，f（3）=m+9，
∴f（-1）＜f（3），
∴在[-1，3]上f（x）的最小值為f（-1）=-11+m，
∴-11+m=-2，∴m=9．
∴當x∈[-1，3]時，f（x）的最大值為：
f（2）=（-2）³+12×2+9=25．

點評 本題考查函數(shù)的導數(shù)的應用，函數(shù)的極值以及函數(shù)的單調性的最值的求法，考查計算能力．