Question

2．已知函數(shù)f（x）=（x-k）e^x（k∈R）．
（1）若k=0，求函數(shù)f（x）的極值；
（2）求函數(shù)g（x）在區(qū)間[0，1]上的最小值．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)，令導(dǎo)數(shù)等于零，解方程，跟據(jù)f′（x）f（x）隨x的變化情況即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）根據(jù)（1），對k-1是否在區(qū)間[0，1]內(nèi)進行討論，從而求得f（x）在區(qū)間[0，1]上的最小值．

解答 解：（Ⅰ）k=0時：f′（x）=（x+1）e^x，
令f′（x）=0，得x=-1，
f′（x）f（x）隨x的變化情況如下：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	↓	-e-1	↑

∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（-∞，-1），f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間（-1，+∞）；
∴f（x）_極小值=f（-1）=-$\frac{1}{e}$；
（Ⅱ）f′（x）=（x-k+1）e^x，
令f′（x）=0，得x=k-1，
f′（x）f（x）隨x的變化情況如下：

x	（-∞，k-1）	k-1	（k-1，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	↓	-ek-1	↑

∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（-∞，k-1），f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間（k-1，+∞）；
當(dāng)k-1≤0，即k≤1時，函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，1]上單調(diào)遞增，
∴f（x）在區(qū)間[0，1]上的最小值為f（0）=-k；
當(dāng)0＜k-1＜1，即1＜k＜2時，由（I）知，f（x）在區(qū)間[0，k-1]上單調(diào)遞減，f（x）在區(qū)間（k-1，1]上單調(diào)遞增，
∴f（x）在區(qū)間[0，1]上的最小值為f（k-1）=-e^k-1；
當(dāng)k-1≥1，即k≥2時，函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，1]上單調(diào)遞減，
∴f（x）在區(qū)間[0，1]上的最小值為f（1）=（1-k）e；
綜上所述f（x）_min=$\left\{\begin{array}{l}{-k，k≤1}\\{{-e}^{k-1}，1＜k＜2}\\{（1-k）e，k≥2}\end{array}\right.$．

點評 此題是個中檔題．考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和在閉區(qū)間上的最值問題，對方程f'（x）=0根是否在區(qū)間[0，1]內(nèi)進行討論，體現(xiàn)了分類討論的思想方法，增加了題目的難度．