Question

6．已知點P在圓C：x²+y²-8x-6y+21=0上運動，O是坐標原點，求線段OP的中點M的軌跡．

Answer 1

分析 化圓的方程為標準式，設出中點坐標，圓上的點P的坐標（x₁，y₁），由中點坐標公式把P的坐標用M的坐標表示，代入圓的方程得答案．

解答 解：由x²+y²-8x-6y+21=0，得（x-4）²+（y-3）²=4，設線段OP中點M的坐標（x，y），P（x₁，y₁），
由中點坐標公式得：x=$\frac{{x}_{1}}{2}$，y=$\frac{{y}_{1}}{2}$，
則x₁=2x，y₁=2y，
代入圓（x-4）²+（y-3）²=4，
得（2x-4）²+（2y-3）²=4，
即（x-2）²+（y-$\frac{3}{2}$）²=1．
∴線段OP中點M的坐標（x，y）應滿足的關系式為（x-2）²+（y-$\frac{3}{2}$）²=1．
線段OP的中點M的軌跡：（x-2）²+（y-$\frac{3}{2}$）²=1．

點評 本題考查了軌跡方程的求法，訓練了代入法求曲線的軌跡方程，是中檔題．