Question

3．已知直線l：y=x-1，雙曲線c₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，拋物線c₂：y²=2x，直線l與c₁相交于A，B兩點(diǎn)，與c₂交于C，D兩點(diǎn)，若線段AB與CD的中點(diǎn)相同，則雙曲線c₁的離心率為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{6}}{2}$
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\frac{\sqrt{15}}{3}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 分別聯(lián)立直線方程和雙曲線方程，直線方程和拋物線方程，消去y，運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，可得AB，CD的中點(diǎn)坐標(biāo)公式，再由雙曲線的基本量a，b，c的關(guān)系和離心率公式，即可得到所求值．

解答 解：聯(lián)立直線l：y=x-1，雙曲線c₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，
可得（b²-a²）x²+2a²x+a²-a²b²=0，
直線l與c₁相交于A，B兩點(diǎn)，
可得AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（-$\frac{{a}^{2}}{^{2}-{a}^{2}}$，$\frac{^{2}}{{a}^{2}-^{2}}$），
聯(lián)立直線l：y=x-1，拋物線c₂：y²=2x，
可得x²-4x+1=0，
直線l與c₂相交于C，D兩點(diǎn)，
則CD的中點(diǎn)為（2，1），
若線段AB與CD的中點(diǎn)相同，
可得$\frac{^{2}}{{a}^{2}-^{2}}$=1，即a²=2b²，
即為a²=2（c²-a²）
即有2c²=3a²，
則e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查直線方程和雙曲線方程，拋物線方程聯(lián)立，注意運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，考查雙曲線的離心率的求法，屬于中檔題．