Question

【題目】選修4-4：坐標系與參數(shù)方程

已知在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），現(xiàn)以原點為極點， 軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為．

（1）求曲線的普通方程和直線的直角坐標方程；

（2）在曲線上是否存在一點，使點到直線的距離最小？若存在，求出距離的最小值及點的直角坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）， ；（2）， .

【解析】試題分析：（1）把曲線的參數(shù)方程分類參數(shù)，根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關系消去參數(shù)得到其普通方程，根據(jù)把直線的極坐標方程化成直角坐標方程；（2）設，由點到直線的距離公式得到距離關于參數(shù)的的函數(shù)關系，通過三角恒等變換和三角函數(shù)的性質得到最小值和相應點的坐標.

試題解析：（1）由題意知曲線的參數(shù)方程可化簡為，

．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分

由直線的極坐標方程可得直角坐標方程為．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分

（2）若點是曲線上任意一點，則可設，

設其到直線的距離為，則．．．．．．．．．．．．．．7分

化簡得，當，即時， ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分

此時點的坐標為……………………10分