【題目】已知橢圓： 的兩個焦點與短軸的一個端點是直角三角形的三個頂點，直線： 與橢圓有且只有一個公共點．

（Ⅰ）求橢圓的方程及點的坐標；

（Ⅱ）設(shè)是坐標原點，直線平行于，與橢圓交于不同的兩點、，且與直線交于點，證明：存在常數(shù)，使得，并求的值．

【答案】（Ⅰ），點T坐標為（2,1）；（Ⅱ）.

【解析】試題分析：本題考查橢圓的標準方程及其幾何性質(zhì)，考查學生的分析問題、解決問題的能力和數(shù)形結(jié)合的思想.第（Ⅰ）問，利用直線和橢圓只有一個公共點，聯(lián)立方程，消去y得關(guān)于x的方程有兩個相等的實數(shù)根，解出b的值，從而得到橢圓E的方程；第（Ⅱ）問，利用橢圓的幾何性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，進行求解.

試題解析：（Ⅰ）由已知， ，則橢圓E的方程為.

由方程組得.①

方程①的判別式為，由，得，

此時方程①的解為，

所以橢圓E的方程為.

點T坐標為（2,1）.

（Ⅱ）由已知可設(shè)直線的方程為，

由方程組可得

所以P點坐標為（），.

設(shè)點A，B的坐標分別為.

由方程組可得.②

方程②的判別式為，由，解得.

由②得.

所以，

同理，

所以

.

故存在常數(shù)，使得.

練習冊系列答案
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【題目】為了美化環(huán)境，某公園欲將一塊空地規(guī)劃建成休閑草坪，休閑草坪的形狀為如圖所示的四邊形ABCD．其中AB＝3百米，AD＝百米，且△BCD是以D為直角頂點的等腰直角三角形．擬修建兩條小路AC，BD（路的寬度忽略不計），設(shè)∠BAD＝，(，)．

（1）當cos＝時，求小路AC的長度；

（2）當草坪ABCD的面積最大時，求此時小路BD的長度．

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在直角坐標系中，直線的方程為，曲線：（為參數(shù)，），在以原點為極點，軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線：.

（1）求曲線的普通方程和曲線的直角坐標方程；

（2）若直線與曲線有公共點，且直線與曲線的交點恰好在曲線與軸圍成的區(qū)域（不含邊界）內(nèi)，求的取值范圍.

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第一種生產(chǎn)方式

第二種生產(chǎn)方式

8

6

5

5

6

8

9

9

7

6

2

7

0

1

2

2

3

4

5

6

6

8

9

8

7

7

6

5

4

3

3

2

8

1

4

4

5

2

1

1

0

0

9

0

（1）根據(jù)莖葉圖判斷哪種生產(chǎn)方式的效率更高？并說明理由；

（2）求40名工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間的中位數(shù)m，并將完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間超過m和不超過m的工人數(shù)填入下面的列聯(lián)表：

超過m

不超過m

總計

第一種生產(chǎn)方式

第二種生產(chǎn)方式

總計

（3）根據(jù)（2）中的列表，能否有99%的把握認為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異？

附：，．

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【題目】北京市政府為做好會議接待服務(wù)工作，對可能遭受污染的某海產(chǎn)品在進入餐飲區(qū)前必須進行兩輪檢測，只有兩輪都合格才能進行銷售，否則不能銷售.已知該海產(chǎn)品第一輪檢測不合格的概率為，第二輪檢測不合格的概率為，兩輪檢測是否合格相互沒有影響.

（1）求該海產(chǎn)品不能銷售的概率.

（2）如果該海產(chǎn)品可以銷售，則每件產(chǎn)品可獲利40元；如果該海產(chǎn)品不能銷售，則每件產(chǎn)品虧損80元（即獲利-80元）.已知一箱中有該海產(chǎn)品4件，記一箱該海產(chǎn)品獲利元，求的分布列，并求出數(shù)學期望.

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（1）根據(jù)莖葉圖完成下面的列聯(lián)表：

達標

未達標

總計

組

組

總計

（2）判斷是否有的把握認為“數(shù)學成績達標與否”與“每天學習數(shù)學時間能否達到一小時”有關(guān).

參考公式與臨界值表：，其中.

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