Question

【題目】在如圖所示的幾何體中，四邊形為正方形，四邊形為直角梯形，且， ，平面平面， ．

（）求證： 平面．

（）若二面角為直二面角，

（i）求直線與平面所成角的大�。�

（ii）棱上是否存在點，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）（i），（ii）見解析.

【解析】試題分析：（1）連結(jié)BD，設(shè)AC∩BD=O，設(shè)G為DE的中點，連結(jié)OG，FG，推導(dǎo)出四邊形AOGF為平行四邊形，從而AC∥FG，由此能證明AC∥平面DEF．
（2）（i）以A為原點，AD，AB，AF分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，利用向量法能求出直線AC與平面CDE所成角的大�。�
（ii）假設(shè)棱DE上存在點P，使得BP⊥平面DEF．設(shè)，則，設(shè)P（x，y，z），求出P點坐標為，從而，由此能求出DE上存在點P，使得BP⊥平面DEF，且.

試題解析：

（）證明：連接交于，

∵四邊形為正方形，

∴是中點，

設(shè)是的中點，連接， ，

則，且，

∵四邊形為直角梯形，且， ，

∴，且，

∴，且，

∴四邊形為平行四邊形，

∴，即，

又∵平面， 平面，

∴平面．

（）（i）由已知， ， ，

∴，

∵二面角為直二面角，

∴平面平面，

∴平面，

∴， ，

又四邊形為正方形，

∴，

∴， ， 兩兩垂直，

以為原點， ， ， 分別為， ， 軸建立空間直角坐標系，

如圖所示，

由得： ， ， ， ， ， ．

∴， ， ．

設(shè)平面的一個法向量為，則：

，即，

取，則， ，

∴，

設(shè)直線與平面所成的角為，則有：

，

∵，

∴，

即直線與平面所成角的大小為．

（ii）假設(shè)棱上存在點，使得平面，

設(shè)，則，

設(shè)，則，

∵，

∴，

∴， ， ，

解得， ， ，

即點坐標為，

∵，

∴，

又， ，

∴，即，

解得．

∵，

∴上存在點，使得平面，且．