Question

18．已知函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=f（x）+ax²-3x，函數(shù)g（x）的圖象在點(diǎn)（1，g（1））處的切線平行于x軸．
（1）求a的值；
（2）求函數(shù)g（x）的極值．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)g（x）=lnx+ax²-3x，在點(diǎn)（1，f（1））處的切線平行于x軸直線，求a的值；
（2）利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，求函數(shù)g（x）的極值．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=f（x）+ax²-3x，g（x）=lnx+ax²-3x，
∴g′（x）=$\frac{1}{x}$+2ax-3，
∵函數(shù)g（x）在點(diǎn)（1，g（1））處的切線平行于x軸，
∴r′（1）=-2+2a=0，
∴a=1；
（2）g′（x）=$\frac{1}{x}$+2x-3（x＞0），
∴由g′（x）＞0可得x＞1或x∈（0，$\frac{1}{2}$），函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（1，+∞），（0，$\frac{1}{2}$），單調(diào)減區(qū)間為（$\frac{1}{2}$，1）
x=1時(shí)，函數(shù)取得極小值g（1）=-2，x=$\frac{1}{2}$時(shí)，極大值為：-ln2-$\frac{5}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查滿足條件的實(shí)數(shù)的求法，考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法．解題時(shí)要認(rèn)真題，仔細(xì)解答，注意函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、切線方程和單調(diào)性等知識點(diǎn)的綜合運(yùn)用．