Question

3．在三棱錐P-ABC中，△ABC為等邊三角形，邊長(zhǎng)為$\sqrt{3}$，PA⊥面ABC，PA=2$\sqrt{3}$，則此三棱錐的外接球的表面積為（　�。�

• A． $\frac{16}{3}π$
• B． $4\sqrt{3}π$
• C． $\frac{32π}{3}$
• D． 16π

Answer 1

分析 由已知結(jié)合三棱錐和正三棱柱的幾何特征，可得此三棱錐外接球，即為以△ABC為底面以PA為高的正三棱柱的外接球，分別求出棱錐底面半徑r，和球心距d，可得球的半徑R，即可求出三棱錐P-ABC外接球的表面積．

解答 解：根據(jù)已知中底面△ABC是邊長(zhǎng)為$\sqrt{3}$的正三角形，PA⊥底面ABC，
可得此三棱錐外接球，即為以△ABC為底面以PA為高的正三棱柱的外接球
∵△ABC是邊長(zhǎng)為$\sqrt{3}$的正三角形，
∴△ABC的外接圓半徑r=1，
球心到△ABC的外接圓圓心的距離d=$\sqrt{3}$
故球的半徑R=2
故三棱錐P-ABC外接球的表面積S=4πR²=16π．
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是球內(nèi)接多面體，正確求出球的半徑R是解答的關(guān)鍵．