Question

13．若a=${∫}_{0}^{2}$（1-3x²）dx+4，且（x+$\frac{1}{ax}$）ⁿ的展開(kāi)式中第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是15，則展開(kāi)式中所有項(xiàng)系數(shù)之和為（　�。�

• A． -$\frac{1}{64}$
• B． $\frac{1}{32}$
• C． $\frac{1}{64}$
• D． $\frac{1}{128}$

Answer 1

分析 由定積分的運(yùn)算，求得a的值，根據(jù)二項(xiàng)式式的展開(kāi)，由${C}_{n}^{2}$=15，求得n的值，令x=1時(shí)展開(kāi)式中所有項(xiàng)系數(shù)之和．

解答 解：由${∫}_{0}^{2}$（1-3x²）dx=（x-x³）${丨}_{0}^{2}$=2-8=-6，
∴a=${∫}_{0}^{2}$（1-3x²）dx+4=-6+4=-2，
∴（x+$\frac{1}{ax}$）ⁿ=（x-$\frac{1}{2x}$）ⁿ，
由（x-$\frac{1}{2x}$）ⁿ展開(kāi)式中第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是15，
∴${C}_{n}^{2}$=15，
∴n=6，
令x=1時(shí)展開(kāi)式中所有項(xiàng)系數(shù)之和（1-$\frac{1}{2}$）⁶=$\frac{1}{64}$，
故答案選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查定積分的計(jì)算，二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．