Question

已知函數(shù)f（x）=

ex-e-x

2

，g（x）=

ex+e-x

2

．（x∈R，e=2.71828…）
（1）設(shè)a＞0，試證明以f（a），g（a），

g(2a)

的值為三邊長(zhǎng)的三角形是直角三角形；
（2）若g（a）•g（b）-f（a）•f（b）=1，對(duì)于a，b∈R成立，試求a-b的值．

Answer 1

考點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)綜合題

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由題意，f（a）=

ea-e-a

2

，g（a）=

ea+e-a

2

，

g(2a)

=

e2a+e-2a 2

；從而利用勾股定理證明；
（2）化簡(jiǎn)g（a）•g（b）-f（a）•f（b）=

ea+e-a

2

•

eb+e-b

2

-

ea-e-a

2

•

eb-e-b

2

=1可得e^b-a+e^a-b=2，從而可得a-b=0．

解答： 解：（1）證明：由題意，
f（a）=

ea-e-a

2

，
g（a）=

ea+e-a

2

，

g(2a)

=

e2a+e-2a 2

；
又f²（a）+g²（a）=（

ea-e-a

2

）²+（

ea+e-a

2

）²=

e2a+e-2a

2

；
而（

g(2a)

）²=（

e2a+e-2a 2

）²=

e2a+e-2a

2

；
故f²（a）+g²（a）=（

g(2a)

）²；
故以f（a），g（a），

g(2a)

的值為三邊長(zhǎng)的三角形是直角三角形；
（2）g（a）•g（b）-f（a）•f（b）
=

ea+e-a

2

•

eb+e-b

2

-

ea-e-a

2

•

eb-e-b

2

=

1

4

（2e^b-a+2e^a-b）=1；
故e^b-a+e^a-b=2；
故a-b=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了指數(shù)的化簡(jiǎn)與運(yùn)算及基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．