Question

已知函數f（x）=lnx（x≥1），g（x）=

1

f′(x)

+af′（x），
（1）當a=4，g（x）的單調區(qū)間；
（2）g（x）的最小值為2，求a的值．

Answer 1

考點：導數的運算,利用導數研究函數的單調性

專題：導數的綜合應用

分析：（1）f′（x）=

1

x

，當a=4時，g（x）=

1

f′(x)

+4f′（x）=x+

4

x

，分別解出g′（x）＞0，與g′（x）＜0，即可得出；
（2）g（x）=x+

a

x

．g′（x）=1-

a

x2

=

x2-a

x2

．對a分類討論：當a＜1時，當a=1時，當a＞1時，利用導數研究函數的單調性極值與最值即可得出．

解答： 解：（1）f′（x）=

1

x

，
當a=4時，g（x）=

1

f′(x)

+4f′（x）=x+

4

x

，
∴g′（x）=1-

4

x2

=

(x+2)(x-2)

x2

，
令g′（x）＞0，解得x＞2；令g′（x）＜0，解得1≤x＜2．
∴函數g（x）的單調遞增區(qū)間為（2，+∞）；單調遞減區(qū)間為[1，2）．
（2）g（x）=x+

a

x

．
g′（x）=1-

a

x2

=

x2-a

x2

．
當a＜1時，g′（x）＞0，函數g（x）在x≥1時單調遞增，則當x=1時，函數g（x）取得最小值2，
∴g（1）=1+a=2，解得a=1，不滿足條件；
當a=1時，g（x）=x+

1

x

≥2，當且僅當x=1時取等號．
當a＞1時，g′（x）=

x2-a

x2

=

(x+ a )(x- a )

x2

．
令g′（x）＞0，解得x＞

a

；令g′（x）＜0，解得1≤x＜

a

．
∴x=

a

時，g（x）取得極小值即最小值2．
∴g(

a

)=2

a

=2，解得a=1，舍去．
綜上可得：a=1．

點評：本題考查了利用導數研究函數的單調性極值與最值、分類討論的思想方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．