Question

已知實數x，y滿足關系式x²+y²-6x-4y+12=0．
（Ⅰ）求

y

x

的最大值和最小值；
（Ⅱ）求x-y的最大值和最小值．

Answer 1

考點：圓的一般方程

專題：直線與圓

分析：（Ⅰ）所給的等式表示以C（3，2）為圓心、半徑為1的圓，而

y

x

表示圓上的點（x y）和原點（0，0）連線的斜率，設為k，則過原點的圓的切線方程為kx-y=0．再根據圓心到切線的距離等于半徑求得k的值，可得故

y

x

的最大值和最小值．
（Ⅱ）令x=3+cosθ，y=2+sinθ，則 x-y=

2

sin（

π

4

-θ）+1，θ∈[0，2π），再根據正弦函數的值域求得x-y的最大值和最小值．

解答： 解：（Ⅰ）關系式x²+y²-6x-4y+12=0 即 （x-3）²+（y-2）² =1，表示以C（3，2）為圓心、半徑為1的圓，
而

y

x

表示圓上的點（x y）和原點（0，0）連線的斜率，設為k，則過原點的圓的切線方程為kx-y=0．
再根據圓心到切線的距離等于半徑，可得

|3k-2|

k2+1

=1，求得k=

3± 3

4

，故

y

x

的最大值為

3+ 3

4

，最小值

3- 3

4

．
（Ⅱ）令x=3+cosθ，y=2+sinθ，則 x-y=cosθ-sinθ+1=

2

sin（

π

4

-θ）+1，θ∈[0，2π），
故x-y的最大值為

2

+1，最小值為-

2

+1．

點評：本題主要考查圓的一般方程，斜率公式，直線和圓相切的性質，點到直線的距離公式，三角代換，正弦函數的值域，屬于中檔題．