Question

16．已知函數(shù)f（x）=ax²+bx+c，當(dāng)|x|≤1時(shí)，|f（x）|≤1恒成立．
（Ⅰ）若a=1，b=c，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；
（Ⅱ）若g（x）=|cx²-bx+a|，當(dāng)|x|≤1時(shí)，求g（x）的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）若a=1，b=c，則|f（1）|=|1+b+b|≤1，f（x）的對(duì)稱(chēng)軸$x=-\frac{2}∈[0，\frac{1}{2}]$，進(jìn)而求得實(shí)數(shù)b的取值范圍；
（Ⅱ）由當(dāng)|x|≤1時(shí)，|f（x）|≤1恒成立，可知|f（-1）|≤1，|f（0）|≤1，|f（1）|≤1，利用放縮法，可得當(dāng)x=0時(shí)，g（x）=|-x²+2|取到最大值2．

解答 解：（Ⅰ）由a=1且b=c，得$f（x）={x^2}+bx+b={（x+\frac{2}）^2}+b-\frac{b^2}{4}$，…（1分）
當(dāng)x=1時(shí)，|f（1）|=|1+b+b|≤1，得-1≤b≤0． …（3分）
故f（x）的對(duì)稱(chēng)軸$x=-\frac{2}∈[0，\frac{1}{2}]$，
所以當(dāng)|x|≤1時(shí)，$\left\{\begin{array}{l}f{（x）_{min}}=f（-\frac{2}）=b-\frac{b^2}{4}≥-1\\ f{（x）_{max}}=f（-1）=1≤1.\end{array}\right.$，…（5分）
解得          $2-2\sqrt{2}≤b≤2+2\sqrt{2}$…（6分）
綜上，實(shí)數(shù)b的取值范圍為$[2-2\sqrt{2}，0]$． …（7分）
（Ⅱ）由當(dāng)|x|≤1時(shí)，|f（x）|≤1恒成立，可知|f（-1）|≤1，|f（0）|≤1，|f（1）|≤1，…（8分）
且由  f（-1）=a-b+c，f（0）=c，f（1）=a+b+c，
解得$a=\frac{f（-1）+f（1）-2f（0）}{2}$，$b=\frac{f（1）-f（-1）}{2}$，c=f（0）．…（10分）
故$g（x）=|{f（0）{x^2}-\frac{f（1）-f（-1）}{2}x+\frac{f（-1）+f（1）-2f（0）}{2}}|$
$\begin{array}{l}≤|{f（0）（{x^2}-1）}|+|{\frac{f（-1）-f（1）}{2}x+\frac{f（-1）+f（1）}{2}}|\\≤|{f（0）}||{{x^2}-1}|+max\{|{f（-1）}|，|{f（1）}|\}\end{array}$
≤1+1=2…（14分）
且當(dāng)a=2，b=0，c=-1時(shí)，若|x|≤1，則|f（x）|=|2x²-1|≤1恒成立，
且當(dāng)x=0時(shí)，g（x）=|-x²+2|取到最大值2．
所以，g（x）的最大值為2． …（15分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分段函數(shù)的應(yīng)用，恒成立問(wèn)題，最值問(wèn)題，綜合性可，難度較大．