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13.已知拋物線的頂點在原點,焦點F在x軸的正半軸,過拋物線的焦點F作直線l,交拋物線與A,B兩點,交拋物線的準(zhǔn)線于點C,CB=3BF,則直線l的斜率kl=±22

分析 可設(shè)拋物線的方程為y2=2px(p>0),求得焦點F(p2,0),準(zhǔn)線方程為x=-p2,設(shè)直線AB的方程為y=k1(x-p2),設(shè)B(m,n),由向量共線的坐標(biāo)表示,可得m,n,即B的坐標(biāo),代入拋物線的方程,解方程可得斜率.

解答 解:由題意可設(shè)拋物線的方程為y2=2px(p>0),
焦點F(p2,0),準(zhǔn)線方程為x=-p2,
設(shè)直線AB的方程為y=k1(x-p2),
設(shè)B(m,n),C的橫坐標(biāo)為-p2,
CB=3BF,可得m-(-p2)=3(p2-m),
解得m=p4
即有n=-k1p4,即B(p4,-k1p4),
代入拋物線的方程可得,
k12p216=2p•p4,
即有k12=8,解得k1=±22
故答案為:±22

點評 本題考查直線的斜率的求法,注意運用拋物線的焦點和準(zhǔn)線方程,向量共線的坐標(biāo)表示,考查化簡整理的運算能力,屬于中檔題.

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