Question

【題目】已知點為雙曲線: 的左、右焦點，過作垂直于軸的直線，在軸上方交雙曲線C于點，且

（1）求雙曲線C的方程；

（2）若直線與雙曲線C恒有兩個不同交點P和Q且 （其中O為原點），求k的取值范圍;

（3）過雙曲線C上任意一點R作該雙曲線兩條漸近線的垂線，垂足分別為M,N，求的值.

Answer 1

【答案】（1）；

（2）或；

（3）；

【解析】

（1）結合雙曲線的定義以及題中的直角三角形，可以得到等量關系，從而求得，進而得到，求得雙曲線的方程；

（2）設點，，將直線方程和雙曲線方程聯(lián)立，消元化簡整理，利用判別式大于零，結合題中的條件，求得的取值范圍；

（3）先寫出雙曲線的漸近線方程，設雙曲線上的點，設兩漸近線的夾角為，利用題意求得，又因為點在雙曲線上，點的坐標滿足雙曲線的方程，從而求得的值.

（1）結合雙曲線的定義以及直角三角形的特征

由已知得，

故雙曲線的方程為：

（2）設點，，

聯(lián)立方程，得，

因為，且解得，，且，

因為，所以故，

解不等式得或

綜上得，或；

（3）由條件可知：兩條漸近線分別為，

設雙曲線上的點，

設兩漸近線的夾角為，

因為 ，

所以，且，

，

又因為 ，

所以.