Question

18．已知三棱錐A-BCD中，△ABC是等腰直角三角形，且AC⊥BC，BC=2，AD⊥平面BCD，AD=1．
（1）求證：平面ABC⊥平面ACD；
（2）若E為AB中點(diǎn)，求點(diǎn)A到平面CED的距離．

Answer 1

分析 （1）由AD⊥平面BCD，可得AD⊥BC，又AC⊥BC，可得BC⊥平面ACD，即可證明平面ABC⊥平面ACD．
（2）由已知可得$CD=\sqrt{3}$，取CD中點(diǎn)為F，連接EF，利用直角三角形斜邊中線(xiàn)的性質(zhì)可得：△ECD為等腰三角形，由（1）知BC⊥平面ACD，可得點(diǎn)E到平面ACD的距離為1，令A(yù)到平面CED的距離為d，則${V_{A-ECD}}=\frac{1}{3}•{S_{△ECD}}•d={V_{E-ACD}}=\frac{1}{3}•{S_{△ACD}}•1$，解得d．

解答 （1）證明：∵AD⊥平面BCD，BC?平面BCD，∴AD⊥BC，
又∵AC⊥BC，AC∩AD=A，∴BC⊥平面ACD，BC?平面ABC，
∴平面ABC⊥平面ACD．（6分）
（2）解：由已知可得$CD=\sqrt{3}$，取CD中點(diǎn)為F，連接EF，
∵$ED=EC=\frac{1}{2}AB=\sqrt{2}$，∴△ECD為等腰三角形，
從而$EF=\frac{{\sqrt{5}}}{2}$，${S_{△ECD}}=\frac{{\sqrt{15}}}{4}$，
由（1）知BC⊥平面ACD，∴點(diǎn)E到平面ACD的距離為1，${S_{△ACD}}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
令A(yù)到平面CED的距離為d，則${V_{A-ECD}}=\frac{1}{3}•{S_{△ECD}}•d={V_{E-ACD}}=\frac{1}{3}•{S_{△ACD}}•1$，解得$d=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線(xiàn)面面面垂直、求點(diǎn)到平面距離問(wèn)題等，本題考查了學(xué)生的空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．