Question

10．已知數(shù)列{a_n}中，a₃=5，a₂+a₆=14，且2${\;}^{{a}_{n}}$，2${\;}^{{a}_{n+1}}$，2${\;}^{{a}_{n+2}}$成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若數(shù)列{b_n}滿足b_n=a_n-（-1）ⁿn，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n，求T₂₁．

Answer 1

分析 （I）由2${\;}^{{a}_{n}}$，2${\;}^{{a}_{n+1}}$，2${\;}^{{a}_{n+2}}$成等比數(shù)列，可得$（{2}^{{a}_{n+1}}）^{2}$=2${\;}^{{a}_{n}}$•2${\;}^{{a}_{n+2}}$，可得2a_n+1=a_n+a_n+2．利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得a_n．
（II）利用“錯(cuò)位相減法”、等差數(shù)列等比數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 解：（I）∵2${\;}^{{a}_{n}}$，2${\;}^{{a}_{n+1}}$，2${\;}^{{a}_{n+2}}$成等比數(shù)列，∴$（{2}^{{a}_{n+1}}）^{2}$=2${\;}^{{a}_{n}}$•2${\;}^{{a}_{n+2}}$，∴2a_n+1=a_n+a_n+2．
∴數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，設(shè)公差為d，∵a₃=5，a₅+a₆=20，
∴a₁+2d=5，2a₁+9d=20，
解得a₁=1，d=2．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
（II）b_n=a_n-（-1）ⁿn=（2n-1）-（-1）ⁿn．
設(shè)數(shù)列{（-1）ⁿn}的前n項(xiàng)和為S_n，
則S_n=-1+2-3+…+（-1）ⁿn．
∴-S_n=1-2+3+…+（-1）ⁿ（n-1）+（-1）ⁿ⁺¹n，
∴2S_n=-1+1-1+…+（-1）ⁿ-（-1）ⁿ⁺¹n=$\frac{-[1-（-1）^{n}]}{1-（-1）}$-（-1）ⁿ⁺¹n，
∴S_n=$\frac{（-1）^{n}-1}{4}$+$\frac{（-1）^{n}n}{2}$．
∴T_n=$\frac{n（1+2n-1）}{2}$-$\frac{（-1）^{n}-1}{4}$-$\frac{（-1）^{n}n}{2}$=n²-$\frac{（-1）^{n}-1}{4}$-$\frac{（-1）^{n}n}{2}$．
∴T₂₁=21²-$\frac{-2}{4}$-$\frac{-21}{2}$=452．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式、“錯(cuò)位相減法”，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．