【題目】已知橢圓的焦距為,其短軸的兩個端點與長軸的一個端點構成正三角形.

（Ⅰ）求橢圓的標準方程和長軸長;

（Ⅱ）設為橢圓的左焦點, 為直線上任意一點,過點作直線的垂線交橢圓于,記分別為點和到直線的距離,證明.

【答案】（1）,長軸長為.（2）見解析

【解析】試題分析： 由橢圓的性質可知，即可求得的值，從而求得橢圓的方程和長軸長由求得直線的方程，代入橢圓方程，由韋達定理及中點坐標公式可求得的中點，由，根據(jù)三角形全等的判定和性質可證明

解析：（Ⅰ）由題意可知,橢圓的焦點在軸上, ,

由,解得

所以橢圓的方程為,長軸長為.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知點的坐標為,設點的坐標為,

則直線的斜率

當時,直線的斜率直線的方程是,

當時,直線的方程是,也符合的形式,

設,將直線的方程與橢圓聯(lián)立,

由得,

,所以,，

設為線段的中點,則點

所以直線的斜率

又直線的斜率,

所以點在直線上,

由三角形全等的判定和性質可知:

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，已知橢圓C： （a>b>0）的離心率為，F(xiàn)為橢圓C的右焦點.A（-a，0），|AF|=3.

（I）求橢圓C的方程；

（II）設O為原點，P為橢圓上一點，AP的中點為M.直線OM與直線x=4交于點D，過O且平行于AP的直線與直線x=4交于點E.求證：∠ODF=∠OEF.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】節(jié)能減排以來，蘭州市100戶居民的月平均用電量單位：度，以分組的頻率分布直方圖如圖．

求直方圖中x的值；求月平均用電量的眾數(shù)和中位數(shù)；

估計用電量落在中的概率是多少？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某同學解答一道解析幾何題：“已知直線l：與x軸的交點為A，圓O：經(jīng)過點A．

（Ⅰ）求r的值；

（Ⅱ）若點B為圓O上一點，且直線AB垂直于直線l，求．”

該同學解答過程如下：

解答：（Ⅰ）令，即，解得，所以點A的坐標為．

因為圓O：經(jīng)過點A，所以．

（Ⅱ）因為．所以直線AB的斜率為．

所以直線AB的方程為，即．

代入消去y整理得，

解得，．當時，．所以點B的坐標為．

所以．

指出上述解答過程中的錯誤之處，并寫出正確的解答過程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）＝lnxx2，g（x）x2+x，m∈R，令F（x）＝f（x）+g（x）．

（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間；

（Ⅱ）若關于x的不等式F（x）≤mx﹣1恒成立，求整數(shù)m的最小值；

（Ⅲ）若m＝﹣1，且正實數(shù)x1，x2滿足F（x1）＝﹣F（x2），求證：x1+x21．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某社會研究機構，為了研究大學生的閱讀習慣，隨機調查某大學40名不同性別的大學生在購買食物時是否讀營養(yǎng)說明，其中男女各一半，男生中有表示會讀，女生中有表示不會讀.

（1）根據(jù)調查結果，得到如下2╳2列聯(lián)表：

男

女

總計

讀營養(yǎng)說明

不讀營養(yǎng)說明

總計

（2）根據(jù)以上列聯(lián)表，進行獨立性檢驗，能否在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為性別與是否讀營養(yǎng)說明之間有關系？

P(K2≥k)

0.10

0.025

0.010

0.005

k

2.706

5.024

6.635

7.879

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】由中央電視臺綜合頻道（）和唯眾傳媒聯(lián)合制作的《開講啦》是中國首檔青年電視公開課,每期節(jié)目由一位知名人士講述自己的故事，分享他們對于生活和生命的感悟，給予中國青年現(xiàn)實的討論和心靈的滋養(yǎng)，討論青年們的人生問題，同時也在討論青春中國的社會問題，受到青年觀眾的喜愛，為了了解觀眾對節(jié)目的喜愛程度，電視臺隨機調查了兩個地區(qū)共100名觀眾，得到如下的列聯(lián)表：

非常滿意

滿意

合計

合計

已知在被調查的100名觀眾中隨機抽取1名，該觀眾是地區(qū)當中“非常滿意”的觀眾的概率為0.35，且.

（1）現(xiàn)從100名觀眾中用分層抽樣的方法抽取20名進行問卷調查，則應抽取“滿意”的地區(qū)的人數(shù)各是多少？

（2）在（1）抽取的“滿意”的觀眾中，隨機選出2人進行座談，求至少有1名是地區(qū)觀眾的概率？

（3）完成上述表格，并根據(jù)表格判斷是否有90%的把握認為觀眾的滿意程度與所在地區(qū)有關系？

附:參考公式：

0.050

0.010

0.001

3.841

6.635

10.828

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】我國古代數(shù)學名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈（ ）

A. 1盞 B. 3盞 C. 5盞 D. 9盞

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設拋物線的焦點為，準線為.已知點在拋物線上，點在上， 是邊長為4的等邊三角形.

（1）求的值；

（2）在軸上是否存在一點，當過點的直線與拋物線交于、兩點時， 為定值？若存在，求出點的坐標，若不存在，請說明理由.

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