9.平潭國際“花式風箏沖浪”集訓(xùn)隊,在平潭龍鳳頭海濱浴場進行集訓(xùn),海濱區(qū)域的某個觀測點觀測到該處水深y(米)是隨著一天的時間t(0≤t≤24,單位小時)呈周期性變化,某天各時刻t的水深數(shù)據(jù)的近似值如表:
t(時)03691215182124
y(米)1.52.41.50.61.42.41.60.61.5
(Ⅰ)根據(jù)表中近似數(shù)據(jù)畫出散點圖(坐標系在答題卷中).觀察散點圖,從①y=Asin(ωt+ϕ),②y=Acos(ωt+ϕ)+b,③y=-Asinωt+b(A>0,ω>0,-π<ϕ<0).中選擇一個合適的函數(shù)模型,并求出該擬合模型的函數(shù)解析式;
(Ⅱ)為保證隊員安全,規(guī)定在一天中的5~18時且水深不低于1.05米的時候進行訓(xùn)練,根據(jù)(Ⅰ)中的選擇的函數(shù)解析式,試問:這一天可以安排什么時間段組織訓(xùn)練,才能確保集訓(xùn)隊員的安全.

分析 (Ⅰ)根據(jù)表中近似數(shù)據(jù)畫出散點圖,選②y=Acos(ωt+ϕ)+b做為函數(shù)模型,由此利用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)能求出該擬合模型的函數(shù)解析式.
(Ⅱ)由$y=0.9sin(\frac{π}{6}t)+1.5$,令y≥1.05,得$sin(\frac{π}{6}t)≥-\frac{1}{2}$,從而12k-1≤t≤12k+7,由此能求出這一天可以安排早上5點至7點以及11點至18點的時間段組織訓(xùn)練,才能確保集訓(xùn)隊員的安全.

解答 (滿分12分)
解:(Ⅰ)根據(jù)表中近似數(shù)據(jù)畫出散點圖,如圖所示:

依題意,選②y=Acos(ωt+ϕ)+b做為函數(shù)模型,
∴$A=\frac{2.4-0.6}{2}=0.9b=\frac{2.4+0.6}{2}=1.5$,
∵$T=\frac{2π}{ω}=12∴ω=\frac{π}{6}$∴$y=0.9cos(\frac{π}{6}t+φ)+1.5$-------------------------------------------------------------(5分)
又∵函數(shù)y=0.9cos($\frac{π}{6}t+$φ)+1.5的圖象過點(3,2.4),
∴2.4=0.9×cos($\frac{π}{6}×3$+φ)+1.5,
∴cos($\frac{π}{2}$+φ)=1,∴sinφ=-1,
又∵-π<φ<0,∴φ=-$\frac{π}{2}$,
∴$y=0.9cos(\frac{π}{6}t-\frac{π}{2})+1.5=0.9sin(\frac{π}{6}t)+1.5$------------------------------------(7分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知:$y=0.9sin(\frac{π}{6}t)+1.5$
令y≥1.05,即$0.9sin(\frac{π}{6}t)+1.5≥1.05$∴$sin(\frac{π}{6}t)≥-\frac{1}{2}$--------------------------------------------------------------------------------(9分)
∴$2kπ-\frac{π}{6}≤\frac{π}{6}t≤2kπ+\frac{7π}{6}(k∈Z)$,
∴12k-1≤t≤12k+7
又∵5≤t≤18∵5≤t≤7或11≤t≤18-----------------------------------------------------------------------(11分)
∴這一天可以安排早上5點至7點以及11點至18點的時間段組織訓(xùn)練,
才能確保集訓(xùn)隊員的安全.-----------------------------------------------------------------(12分)

點評 本題考查函數(shù)解析式的求法,考查確保集訓(xùn)隊員的安全的訓(xùn)練時間的確定,考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等基礎(chǔ)知識,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想,數(shù)形結(jié)合思想,是中檔題.

練習冊系列答案
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y(萬元)2836525678
(1)求y關(guān)于x的線性回歸方程$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}$x+$\stackrel{∧}{a}$
(2)根據(jù)(1)中的線性回歸方程,回答下列問題:
(i)當廣告費支出為10萬元時,預(yù)測銷售額是多少?
(ii)從已知的五組數(shù)據(jù)中任意抽取兩組數(shù)據(jù),求這兩組數(shù)據(jù)中至少有一組數(shù)據(jù)其銷售額的實際值y與預(yù)測值$\stackrel{∧}{y}$之差的絕對值不超過3萬元的概率
參考數(shù)據(jù):$\sum_{i=1}^{5}$xi2=145,$\sum_{i=1}^{5}$yi2=14004,$\sum_{i=1}^{5}$xiyi=1420
附:回歸方程$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}$x+$\stackrel{∧}{a}$中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為:$\stackrel{∧}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}({x}_{i}-\overline{x})({y}_{i}-\overline{y})}{\sum_{i=1}^{n}({x}_{i}-\overline{x})^{2}}$,$\stackrel{∧}{a}$=$\stackrel{∧}{y}$-$\stackrel{∧}$x.

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