Question

12．曲線y=a$\sqrt{x}$（a＞0）與y=ln$\sqrt{x}$有公共點，且在公共點處的切線相同，則a=$\frac{1}{e}$．

Answer 1

分析 設(shè)出公共點的坐標(biāo)，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義建立方程關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：y=ln$\sqrt{x}$=$\frac{1}{2}$lnx，
設(shè)公共點的坐標(biāo)為（m，$\frac{1}{2}$lnm），
則函數(shù)y=f（x）=a$\sqrt{x}$（a＞0）的導(dǎo)數(shù)f′（x）=$\frac{a}{2\sqrt{x}}$，
曲線y=g（x）=$\frac{1}{2}$lnx的導(dǎo)數(shù)g′（x）=$\frac{1}{2x}$，
則f′（m）=$\frac{a}{2\sqrt{m}}$，g′（m）=$\frac{1}{2m}$，
則由f′（m）=g′（m），得$\frac{a}{2\sqrt{m}}$=$\frac{1}{2m}$，（m＞0），
則a=$\frac{1}{\sqrt{m}}$，
又a$\sqrt{m}$=ln$\sqrt{m}$，
即ln$\sqrt{m}$=1，得$\sqrt{m}$=e，則a=$\frac{1}{\sqrt{m}}$=$\frac{1}{e}$，
故答案為：$\frac{1}{e}$．

點評 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，建立方程關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．