Question

2．設(shè)f（x）=$\frac{{4}^{x}}{{4}^{x}+2}$，利用定義法證明f（x）在R上是單調(diào)遞增函數(shù)．

Answer 1

分析 在R上任取x₁，x₂，令x₁＜x₂，推導(dǎo)出f（x₁）-f（x₂）=$\frac{2（{4}^{{x}_{1}}-{4}^{{{x}_{2}}^{\;}}）}{（{4}^{{x}_{1}}+2）（{4}^{{x}_{2}}+2）}$＜0，由此能證明f（x）在R上是單調(diào)遞增函數(shù)．

解答 證明：在R上任取x₁，x₂，令x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=$\frac{{4}^{{x}_{1}}}{{4}^{{x}_{1}}+2}-\frac{{4}^{{x}_{2}}}{{4}^{{x}_{2}}+2}$
=$\frac{{4}^{{x}_{1}+{x}_{2}}+2×{4}^{{x}_{1}}-{4}^{{x}_{1}+{x}_{2}}-2×{4}^{{x}_{2}}}{（{4}^{{x}_{1}}+2）（{4}^{{x}_{2}}+2）}$
=$\frac{2（{4}^{{x}_{1}}-{4}^{{{x}_{2}}^{\;}}）}{（{4}^{{x}_{1}}+2）（{4}^{{x}_{2}}+2）}$，
∵x₁＜x₂，
∴f（x₁）-f（x₂）=$\frac{2（{4}^{{x}_{1}}-{4}^{{{x}_{2}}^{\;}}）}{（{4}^{{x}_{1}}+2）（{4}^{{x}_{2}}+2）}$＜0，
∴f（x）在R上是單調(diào)遞增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查f（x）在R上是單調(diào)遞增函數(shù)的證明，考查函數(shù)單調(diào)性等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題．