Question

17．若隨機變量X的分布列如表，則a²+b²的最小值為（　�。�

X	0	1	2
P	$\frac{1}{3}$	a	b

• A． $\frac{1}{9}$
• B． $\frac{2}{9}$
• C． $\frac{3}{9}$
• D． $\frac{4}{9}$

Answer 1

分析 由隨機變量X的分布列得到$\left\{\begin{array}{l}{a≥0}\\{b≥0}\\{a+b=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}}\end{array}\right.$，由此利用均值不等式能求出a²+b²的最小值．

解答 解：由隨機變量X的分布列知：
$\left\{\begin{array}{l}{a≥0}\\{b≥0}\\{a+b=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}}\end{array}\right.$，
∴ab≤（$\frac{a+b}{2}$）²=$\frac{1}{9}$，
當且僅當a=b=$\frac{1}{3}$時，取等號，
此時a²+b²≥2ab=$\frac{2}{9}$．
∴a²+b²的最小值為$\frac{2}{9}$．
故選：B．

點評 本題考查兩數(shù)平方和的最小值的求法，考查離散型隨機變量的分布列、均值不等式等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力、空中想象能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想，是基礎(chǔ)題．