Question

13．已知函數(shù)f（x）=ax+lnx，x∈[1，e]，
（1）若$\lim_{t→0}\frac{{f（{1-2t}）-f（1）}}{t}=-4$，求f（x）的最大值；
（2）若f（x）≤0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，運用導(dǎo)數(shù)的極限定義，可得a的方程，求得a=1，可得f（x）在[1，e]上為增函數(shù)，可得f（x）的最大值；
（2）由題意可得ax+lnx≤0對x∈[1，e]恒成立，$a≤-\frac{lnx}{x}，x∈[{1，e}]$，設(shè)$g（x）=-\frac{lnx}{x}，x∈[{1，e}]$，求出導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，可得g（x）的最小值，可得a的范圍．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=ax+lnx的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=a+$\frac{1}{x}$，
∵$\lim_{t→0}\frac{{f（{1-2t}）-f（1）}}{t}=-2{f^'}（1）=-4$，
∴f′（1）=2=a+1，∴a=1，
則f（x）=x+lnx，${f^'}（x）=1+\frac{1}{x}$，
∵x∈[1，e]，∴f′（x）＞0，
∴f（x）在[1，e]上為增函數(shù)，
∴f（x）_max=f（e）=e+1．
（2）∵f（x）≤0，即ax+lnx≤0對x∈[1，e]恒成立，
∴$a≤-\frac{lnx}{x}，x∈[{1，e}]$，
設(shè)$g（x）=-\frac{lnx}{x}，x∈[{1，e}]$，
則${g^'}（x）=\frac{lnx-1}{x^2}$，
∵x∈[1，e]，
∴g′（x）≤0，∴g（x）在x∈[1，e]上遞減，
∴$g{（x）_{min}}=g（e）=-\frac{1}{e}$，∴$a≤-\frac{1}{e}$．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的定義和運用：求單調(diào)性和最值，考查不等式恒成立問題的解法，以及參數(shù)分離法，考查轉(zhuǎn)化思想和運算能力，屬于中檔題．