Question

1．已知點M（-1，0）和N（1，0），若某直線上存在點P，使得|PM|+|PN|=4，則稱該直線為“橢型直線”．現(xiàn)有下列直線：①x-2y+6=0；②x-y=0；③2x-y+1=0；④x+y-3=0．其中是“橢型直線”的是（　�。�

• A． ①③
• B． ①②
• C． ②③
• D． ③④

Answer 1

分析 由題意可知，點P的軌跡是以M，N為焦點的橢圓，把直線方程分別代入橢圓方程看是否有解即可判斷出結(jié)論．

解答 解：根據(jù)題意，點M（-1，0）和N（1，0），若|PM|+|PN|=4，
則P的軌跡是以M，N為焦點的橢圓，其標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，即3x²+4y²-12=0，
對于①，把x-2y+6=0代入橢圓方程，變形整理可得16y²-68y+96=0，
由△=68²-4×16×（96）=-1520＜0，即直線與橢圓沒有交點，
則x-2y+6=0不是“橢型直線”；
對于②，把x-y=0即y=x代入橢圓方程，解可得x²=$\frac{12}{7}$，
直線x-y=0與橢圓有2個交點，即直線x-y=0是“橢型直線”；
對于③，把直線2x-y+1=0代入橢圓方程，變形整理可得19x²+16x-8=0，
由△=（16）²-4×19×（-8）＞0，直線與橢圓有2個交點，
則2x-y+1=0是“橢型直線”；
對于④，把直線x+y-3=0代入橢圓方程，變形整理可得7x²-24x+24=0，
有△=（-24）²-4×7×24＜0，即直線與橢圓沒有交點，
則x+y-3=0不是“橢型直線”；
則②③是“橢型直線”
故選：C．

點評 本題考查橢圓的定義及標準方程，涉及直線與橢圓的位置關系，解答此題的關鍵是把問題轉(zhuǎn)化為判斷直線方程與橢圓方程聯(lián)立的方程組是否有解．