Question

13．對(duì)于數(shù)列{x_n}，若對(duì)任意n∈N^*，都有x_n+2-x_n+1＜x_n+1-x_n成立，則稱數(shù)列{x_n}為“減差數(shù)列”．設(shè)${b_n}=2t-\frac{{t{n^2}-n}}{{{2^{n-1}}}}$，若數(shù)列${b_5}，{b_6}，{b_7}，…，{b_n}（{n≥5，n∈{N^*}}）$是“減差數(shù)列”，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是（　�。�

• A． $（{0，\frac{3}{5}}）$
• B． $（{0，\frac{3}{5}}]$
• C． $（{\frac{3}{5}，+∞}）$
• D． $[{\frac{3}{5}，+∞}）$

Answer 1

分析 利用新定義列出b_n+b_n+2＜2b_n+1（n≥5），轉(zhuǎn)化為t與n的不等式，利用函數(shù)的最值求解實(shí)數(shù)t的取值范圍．

解答 解：由數(shù)列${b_5}，{b_6}，{b_7}，…，{b_n}（{n≥5，n∈{N^*}}）$是“減差數(shù)列”，得b_n+b_n+2＜2b_n+1（n≥5），
即$t-\frac{{t{n^2}-n}}{2^n}+$$t-\frac{{t{{（{n+2}）}^2}-（{n+2}）}}{{{2^{n+2}}}}＜2t-\frac{{t{{（{n+1}）}^2}-（{n+1}）}}{2^n}$，
即$\frac{{t{n^2}-n}}{2^n}+\frac{{t{{（{n+2}）}^2}-（{n+2}）}}{{{2^{n+2}}}}＞\frac{{t{{（{n+1}）}^2}-（{n+1}）}}{2^n}$，
化簡(jiǎn)得t（n²-4n）＞n-2，
當(dāng)n≥5時(shí)，若t（n²-4n）＞n-2恒成立，則$t＞\frac{n-2}{{{n^2}-4n}}=\frac{1}{{（{n-2}）-\frac{4}{n-2}}}$恒成立，
又當(dāng)n≥5時(shí)，y=$\frac{1}{{（{n-2}）-\frac{4}{n-2}}}$是減函數(shù)，n=5時(shí)表達(dá)式取得最大值為$\frac{3}{5}$，
則t的取值范圍是$（{\frac{3}{5}，+∞}）$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的應(yīng)用，數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．